Konstruktion Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit Bedingungen and die Skalarkrümmung und Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie

• Antragsteller: Dr. Armando Cabrera Pacheco
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441647947

Dieses Projekt befasst sich mit der Konstruktion (mithilfe geometrischer und analytischer Techniken) von Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Bedingungen an die Skalarkrümmung und zusätzlichen Eigenschaften, die durch offene Fragen in der Allgemeinen Relativitätstheorie motiviert sind. Genauer: Ein isoliertes System (ein Stern, ein Schwarzes Loch o.a.) kann als Lösung der Einsteingleichungen (EE) modelliert werden, die ein nichtlineares System geometrischer PDEs bilden. Ein erprobter Weg, Lösungen der EE zu untersuchen, ist mittels des zugehörigen Cauchyproblems. Dabei wird der Anfangszustand des Universums durch eine Riemannsche Mannigfaltigkeit dargestellt und seine Anfangsgeschwindigkeit durch einen symmetrischen 2-Tensor (sogenannte Anfangsdaten), die sog. Zwangsbedingungen erfüllen, die insbesondere Bedingungen an die Skalarkrümmung der Mannigfaltigkeit implizieren. Es genügt, dass die Zwangsbedingungen erfüllt sind, um die Existenz einer lokalen Lösung zu garantieren, wie Choquet-Bruhat gezeigt hat. Leider ist es schwierig, Anfangsdaten zu finden, die den Zwangsbedingungen genügen; neben der konformen Methode von Lichnerowicz und York sind dafür nicht viele Methoden verfügbar. Daher ist es von großem Interesse, neue Techniken zu entwickeln, mit denen man Riemannsche Mannigfaltigkeiten und zugehörige symmetrische 2-Tensoren konstruieren kann, die die Zwangsbedingungen erfüllen. Kürzlich hat Racz einen neuen Zugang vorgestellt, wie die Zwangsbedingungen als parabolisch-hyperbolisches System umgeschrieben werden, für das die lokale Existenz einer Lösung sichergestellt ist. Es ist aber unbekannt, unter welchen Bedingungen auch globale Existenz einer Lösung und asymptotische Flachheit (womit man isolierte Systeme modelliert) gegeben sind. Für den Fall, dass der symmetrische 2-Tensor der Anfangsdaten identisch null ist, wurden solche Bedingungen von Bartnik gefunden. Die Ziele des Projekts gliedern sich in zwei Kategorien: Hauptziel. Bartniks Konstruktion für den Fall nichttrivialer symmetrischer 2-Tensoren adaptieren, um globale Existenz von Racz‘ System zu zeige und so asymptotisch flache Lösungen der Zwangsbedingungenzu erhalten. Eine Abschätzung für die ADM-Masse (ein Konzept totaler Masse) dieser Lösungen finden und nachweisen, dass diese Lösungen eine Familie von Mannigfaltigkeiten sind, für die die Vermutung der Penroseungleichung gilt. Nebenziel. Im Fall eines verschwindenden 2-Tensors die Stabilität des Satzes von der positiven Energie, die Riemannsche Penroseungleichung und Konzepte lokaler Masse untersuchen. Genauer: Techniken entwickeln, um Folgen asymptotisch flacher Riemannscher Mannigfaltigkeiten (die mit bestimmten PDE-Methoden konstruiert wurden) mit nichtnegativer Skalarkrümmung hinsichtlich verschiedener Abstandsbegriffe (z.B. Sormani-Wengers intrinsic flat distance) zu untersuchen. Dann mit diesen Techniken die Stabilität des Satzes von der positiven Masse für die Familie aus dem Hauptziel untersuchen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen