Wirkungen von Abbildungsklassengruppen und ihre Untergruppen

• Antragstellerin: Valentina Disarlo, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441841963

Meine Forschung bewegt sich im Gebiet der niedrigdimensionalen Topologie und der geometrischen Gruppentheorie, insbesondere der Theorie der Riemannschen Flächen und Abbildungsklassengruppen sowie der Teichmüllertheorie. Dabei interessiere ich mich besonders dafür, die Abbildungsklassengruppe und ihre Untergruppen durch deren Wirkungen auf dem Teichmüllerraum und auf bestimmten Simplizialkomplexen, wie dem Kurvenkomplex und dem Flip-Graph, zu verstehen. Neuerdings habe ich diese Techniken auch auf Probleme der Dynamik angewandt und angefangen, die Wirkungen der affinen Gruppe auf Simplizialkomplexen, die aus Sattelverbindungen auf Translationsflächen gebaut sind, zu untersuchen. Meine aktuelle Forschung hat drei Achsen, die zu den drei Teilen dieses Projekts korrespondieren: I. Kombinatorische Wirkungen der Abbildungsklassengruppe und Starrheit II. Großskalige Geometrie von Komplexen von (Multi-)Bögen und Wechselwirkungen zwischen geometrischer Gruppentheorie und Dynamik III. Thurstons Abstand auf dem Teichmüllerraum und dessen Verallgemeinerung in höherer Teichmüllertheorie Teil I beschäftigt sich mit Abbildungsklassengruppen und dem simplizialen Starrheitsproblem. In den 1990ern bewies Ivanov, dass die Abbildungsklassengruppe als die Automorphismengruppe des Kurvenkomplexes dargestellt werden kann. In der Folge wurde die gleiche Eigenschaft für viele andere einer Fläche zugeordnete Simplizialkomplexe nachgewiesen. Zu verstehen, was diesen Objekten gemein ist, gilt noch immer als offenes Problem (Ivanonvs Meta-Vermutung). Zusammen mit Javier de La Nuez-Gonzalez und Thomas Koberda studiere ich die Modelltheorie des Kurvenkomplexes und anderer zu Abbildungsklassengruppen assoziierter Graphen. Teil II handelt von der geometrischen Gruppentheorie von Bögenkomplexen, Flip-Graphen, verwandten algorithmischen Problemen und einer neuen Anwendung dieser Werkzeuge in der Dynamik. Nach grundlegenden Arbeiten von Masur-Minsky gab es viel Interesse an den großskaligen Eigenschaften des Kurvenkomplexes und anderen analogen Komplexen. Ein neuer Trend in der geometrischen Gruppentheorie besteht in der Betrachtung der Komplexe von Bögen und Triangulierungen. Weitere Motivationen kommen von den vielen Anwendungen dieser Objekte in anderen Bereichen der Mathematik. Ich interessiere mich dafür, die großskalige Geometrie der Abbildungsklassengruppe mittels Graphen von Triangulierungen zu verstehen. Zusammen mit A. Randecker und R. Tang entwickle ich ein Programm, um durch das Studium von Simplizialkomplexen, die aus Sattelverbindungen auf Translationsflächen gebaut wurden, Techniken aus der geometrischen Gruppentheorie in der Dynamik anzuwenden. Teil III beschäftigt sich mit Thurstons Abstandsfunktion auf dem Teichmüllerraum. Thurstons Abstand ist von Thurston gefundenes Analogon zum Teichmüllerabstand. Zusammen mit D. Alessandrini verallgemeinern wir Thurstons Ergebnisse auf Flächen mit Rand.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen