Neue hyper-Kähler Räume mittels der Selbstdualitätsgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Hartmut Weiß, seit 9/2022
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441867504

In diesem Projekt werden neue hyper-Kähler Mannigfaltigkeiten untersucht, welche durch singuläre Lösungen der Hitchin Gleichung gegeben sind.Hitchin’s Selbstdualitätsgleichungen über kompakten Riemannschen Flächen sind eine zweidimensionale Reduktion der Yang-Mills Gleichungen. Die Gleichungen und ihre Lösungen liefern tiefgehende Verbindungen zwischen Gebieten der algebraischen Geometrie und integrabelen Systemen, der Topologie und Darstellungen von Flächengruppen, sowie der Differentialgeometrie und harmonischen Abbildungen. Der Modulraum der Lösungen trägt eine Vielzahl an geometrischen Strukturen, unter anderem die eines vollständigen integrabelen Systems und die einer hyper-Kähler Mannigfaltigkeit bezüglich der L2-Metrik. (Irreduzibele) Lösungen werden dabei mittels der Hitchin-Kobayashi-Korrespondenz entweder durch (stabile) Higgspaare oder durch Konjugationsklassen von (irreduzibelen) Darstellungen parametrisiert, und liefern harmonische Abbildungen in entsprechende nicht-kompakte symmetrische Räume.Der Twistorraum des Lösungsraums der Hitchin Gleichung besitzt eine komplex-analytische Reinkarnation als Deligne-Hitchin Modulraum der λ-Zusammenhänge. In diesem Projekt wer- den spezielle Klassen von singulären Lösungen der Hitchin Gleichung über kompakten Riemannschen Flächen untersucht, welche durch reelle holomorphe Schnitte des Deligne-Hitchin Modulraumes gegeben sind. Globale Lösungen der Hitchin Gleichung entsprechen den sogenannten Twistorlinien. In aktuellen Arbeiten wurde gezeigt, dass andere reelle holomorphe Schnitte außer den Twistorlinien existieren, und dass der Raum dieser reellen holomorphen Schnitte zumindest lokal eine induzierte hyper-Kähler Metrik trägt. Wir werden Fragen bezüglich der Vollständigkeit dieser Metriken untersuchen, und neue Methoden für die Konstruktion von reellen holomorphen Schnitten entwickeln. Dafür werden wir insbesondere folgende Fragestellungen und Probleme bearbeiten:• Bedingungen an reelle holomorphe Schnitte des Deligne-Hitchin Modulraums finden, welche die verschiedenen Komponenten des Raums der reellen Schnitte unterscheiden;• Existenzbeweise von neuen reellen holomorphen Schnitten durch die Konstruktion spezieller singulärer harmonischer Abbildungen;• Verkleben von lokalen Prototypen von singulären Lösungen der Hitchin Gleichung; gegebenenfalls Untersuchung der hyper-Kähler Metrik für hohe Energien;• Verallgemeinerung bisheriger Resultate für den Fall eines höheren Ranges r ≥ 2;• Anwendungen in der AdS/CFT Korrespondenz: Konstruktion von Beispielen von Minimalflächen in der anti-deSitter Raumzeit mit nichttrivialer Topologie; Untersuchung des renormalisierten Flächeninhalts mittels eines natürlichen Energiefunktionals aufdem Raum der holomorphen Schnitte.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen
• Mitverantwortlich(e): Professorin Dr. Lynn Heller
• Ehemaliger Antragsteller: Privatdozent Dr. Sebastian Heller, bis 8/2022