Wall-crossing und Hyperkähler-Geometrie von Modulräumen

• Antragsteller: Claudio Meneses, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441868307

Modulräume von parabolischen Higgs-Bündeln auf kompakten Riemannschen Flächen sind eine große und geometrisch reiche Klasse nichtkompakter Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten. Während sie ursprünglich als unendlich dimensionale Hyperkählerquotienten beschrieben wurden, die Äquivalenzklassen von Lösungen für Hitchins Gleichungen parametrisieren, lassen sie auch eine parallele und unabhängige Konstruktion im Sinne der leistungsstarken algebro-geometrischen Techniken der geometrischen Invariantentheorie zu. Ein interessantes geometrisches Phänomen, das sie charakterisiert, ist ihre Abhängigkeit von Stabilitätsparametern, die als Parabelgewichte bezeichnet werden und Punkte in einem gegebenen konvexen Polytop mit einer vorgeschriebenen kombinatorischen Struktur sind, was zur Idee der „wall-crossing” führt. Obwohl wall-crossing für Modulräume von parabolischen Higgs-Bündeln auf Riemannschen Flächen aus algebro-geometrischer Perspektive gut verstanden wird, ist das Verständnis der Beziehung zu ihren Hyperkähler-Strukturen ein analytisches Problem, das aus einer etwas anderen Perspektive besser angegangen und verstanden werden könnte. Die Konstruktion komplex-analytischer geometrischer Modelle für diese Modulräume im Fall des Geschlecht 0 ist ein jüngster Vorschlag des Autors, der speziell darauf ausgelegt ist, analytische Fragen in Bezug auf ihre Geometrie und Topologie zu beantworten und natürliche „Karten” und „Koordinaten” bereitzustellen, die ihre Neuformulierung in einem bequemeren Aufbau ermöglichen. Darüber hinaus bietet die explizite Natur der geometrischen Modelle ein umfassendes Verständnis von wall-crossing in einer relativ elementaren Formulierung. Das Ziel dieses Projekts ist es, mehrere analytische Strukturen auf Modulräumen von parabolischen Higgs-Bündeln des Geschlecht 0 in Bezug auf ihre geometrischen Modelle zu untersuchen und vor allem ihre asymptotische Hyperkähler-Geometrie im Unendlichen und ihr explizites Verhalten unter Variationen von Parabelgewichten und wall-crossing zu beschreiben. Diese Ideen würden eine alternative und ergänzende Perspektive für das Verständnis der komplexen Geometrie dieser Modulräume bieten, was ihr Verständnis und ihre Anwendbarkeit erweitern würde.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen