Quantitative Unschärferelationen elliptischer PDGl. mit variablen Koeffizienten zweiter Ordnung und Anwendungen in Kontrolltheorie, Anderson Lokalisierung und Modellierung photonischer Kristalle

• Antragsteller: Professor Dr. Ivan Veselic
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441959487

• Erstellungsjahr: 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Projekt widmete sich der Untersuchung von Unschärferelationen und quantitativen Fortsetzungsabschätzungen für Funktionen in spektralen Unterräumen von elliptischen Differentialoperatoren in unbeschränkten und großen beschränkten Gebieten. Ursprünglich sollten diese Sachverhalte vor allem für Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten zweiter Ordnung, wie sie bei der physikalischen Modellierung von Festkörpern vorkommen, untersucht werden. Aus verschiedenen Gründen orientierte sich die Forschung im Laufe des Projekts um auf elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die von der kinetischen Theorie von Gasen motiviert sind. Für verschiedene solcher Modelle wiesen wir Unschärferelationen sowie Beobachtungs- und Kontrollierbarkeits-Ungleichungen nach. Während des Berichtszeitraums publizierte der PI und die zu dem Projekt assoziierten Teammitglieder 15 Arbeiten im Themenbereich Unschärferelationen, unique continuation, Beobachtbarkeit und Kontrollierbarkeit.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• An abstract Logvinenko-Sereda type theorem for spectral subspaces. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 500(1), 125149.
  Egidi, Michela & Seelmann, Albrecht
  
• Protecting points from operator pencils. Journal of Operator Theory, 85(2), 383-389.
  Seelmann, Albrecht; Taufer, Matthias & Veseli, Kresimir
  
• Quantum Hamiltonians with Weak Random Abstract Perturbation. II. Localization in the Expanded Spectrum. Journal of Statistical Physics, 182(1).
  Borisov, Denis; Täufer, Matthias & Veselić, Ivan
  
• The Laplacian on Cartesian products with mixed boundary conditions. Archiv der Mathematik, 117(1), 87-94.
  Seelmann, Albrecht
  
• Unifying the treatment of indefinite and semidefinite perturbations in the subspace perturbation problem. Operators and Matrices(3), 1181-1188.
  Seelmann, Albrecht
  
• Wegner Estimate for Random Divergence-Type Operators Monotone in the Randomness. Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 24(3).
  Dicke, Alexander
  
• On a Minimax Principle in Spectral Gaps. Complex Analysis and Operator Theory, 16(3).
  Seelmann, Albrecht
  
• Spectral inequalities for Schrödinger operators and parabolic observability, 2022. PhD thesis, Technische Universität Dortmund.
  Alexander Dicke
  
• The Reflection Principle in the Control Problem of the Heat Equation. Journal of Dynamical and Control Systems, 28(3), 635-655.
  Egidi, Michela & Seelmann, Albrecht
  
• Uncertainty principles with error term in Gelfand–Shilov spaces. Archiv der Mathematik, 119(4), 413-425.
  Dicke, Alexander & Seelmann, Albrecht
  
• A unified observability result for non-autonomous observation problems. Archiv der Mathematik, 122(2), 227-239.
  Gabel, Fabian & Seelmann, Albrecht
  
• Control problem for quadratic parabolic differential equations with sparse sensor sets of finite volume or anisotropically decaying density. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 29, 80.
  Dicke, Alexander; Seelmann, Albrecht & Veselić, Ivan
  
• Quantitative unique continuation for spectral subspaces of Schrödinger operators with singular potentials. Journal of Differential Equations, 369, 405-423.
  Dicke, Alexander; Rose, Christian; Seelmann, Albrecht & Tautenhahn, Martin
  
• Relative residual bounds for eigenvalues in gaps of the essential spectrum. Operators and Matrices, (1), 191–203.
  Seelmann, Albrecht
  
• Uncertainty Principle for Hermite Functions and Null-Controllability with Sensor Sets of Decaying Density. Journal of Fourier Analysis and Applications, 29(1).
  Dicke, Alexander; Seelmann, Albrecht & Veselić, Ivan
  
• Unique continuation for the gradient of eigenfunctions and Wegner estimates for random divergence-type operators. Journal of Functional Analysis, 285(7), 110040.
  Dicke, Alexander & Veselić, Ivan
  
• Quantitative spectral inequalities for the anisotropic Shubin operators and applications to null-controllability. Comptes Rendus. Mathématique, 362(G12), 1635-1659.
  Alphonse, Paul & Seelmann, Albrecht
  
• Spectral inequality with sensor sets of decaying density for Schrödinger operators with power growth potentials. Partial Differential Equations and Applications, 5(2).
  Dicke, Alexander; Seelmann, Albrecht & Veselić, Ivan
  
• Spherical Logvinenko–Sereda–Kovrijkine type inequality and null-controllability of the heat equation on the sphere. Archiv der Mathematik, 123(5), 543-556.
  Dicke, Alexander & Veselić, Ivan
  
• Sturm-Liouville problems and global bounds by small control sets and applications to quantum graphs. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 535(1), 128101.
  Egidi, Michela; Mugnolo, Delio & Seelmann, Albrecht
  
• Wegner estimate and localisation for alloy-type operators with minimal support assumptions on the single site potential. Random Operators and Stochastic Equations, 32(2), 175-184.
  Täufer, Matthias & Veselić, Ivan
  
• Unique continuation estimates for Baouendi–Grushin equations on cylinders. Pure and Applied Analysis, 7(3), 733-770.
  Alphonse, Paul & Seelmann, Albrecht