Krümmungsmaße in der Konvex- und Integralgeometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Wannerer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 442235491

Dieses Projekt baut auf den entscheidenden Fortschritten in der Konvex- und Integralgeometrie auf, die sich aus der Arbeit von S. Alesker über Bewertungen ergeben. Der Raum der stetigen und translationsinvarianten Bewertungen besitzt eine natürliche endliche Graduierung. Nach Aleskers Irreduzibilitätstheorem ist jede graduierte Komponente irreduzibel unter der Wirkung der allgemeinen linearen Gruppe. Dies hat starke Auswirkungen auf die Struktur des Raums der Bewertungen und führte Alesker zur Entdeckung einer Reihe von natürlichen algebraischen Operationen auf Bewertungen, insbesondere eines kommutativen Produkts. Darüber hinaus erwies sich die Beschränkung auf Konvexität als unnatürlich und Alesker entwickelte eine Theorie der glatten Bewertungen auf glatten Mannigfaltigkeiten. Glatte Bewertungen können, wenn auch nicht eindeutig, lokalisiert werden zu glatten Krümmungsmaßen; ein entscheidendes neues Konzept, das von A. Bernig und J.H.G. Fu eingeführt wurde. Geometrischer ausgedrückt, ist ein glattes Krümmungsmaß ein Integral von Invarianten der zweiten Fundamentalform, das auch unter bestimmten singulären Degenerationen sinnvoll bleibt. Die berühmtesten klassischen Beispiele sind Federers Krümmungmaße, die die inneren Volumina lokalisieren. Nach Aleskers Irreduzibilitätstheorem ist der Abschluss des Raums der glatten Bewertungen in der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz genau der Raum der stetigen Bewertungen. Ein grundlegendes Problem und Hauptziel dieses Projekts ist es den Raum der glatten Krümmungsmaße in ähnlicher Weise zu vervollständigen und die Elemente der Vervollständigung durch eine kurze Liste unvermeidlicher Eigenschaften zu charakterisieren. Die Idee, dass viele Sätze über translationsinvariante Bewertungen auch eine Entsprechung für Krümmungmaße haben sollten, wird das Projekt in verschiedenen Kontexten verfolgen und insbesondere die Wirkung der allgemeinen linear Gruppe untersuchen. Krümmungsmaße eröffnen auch eine neue Perspektive auf die inneren Volumina in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Ausgehend von den inneren Volumina der Konvexgeometrie zeigte Alesker wie man jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit eine endliche Algebra von Bewertungen zuordnen kann, die Lipschitz-Killing-Algebra. Die Tatsache, dass der Raum der glatten Krümmungmaße in natürlicher Weise ein Modul über glatten Bewertungen ist, eröffnet einen neuen und augenscheinlich sehr natürlichen Ansatz: Nach einer Vermutung von A. Bernig, J.H.G. Fu und S. Solanes bleibt der durch eine einfache geometrische Eigenschaft gekennzeichnete Unterraum der Winkelkrümmungmaße genau dann invariant unter der Wirkung einer glatten Bewertung, wenn sie ein Element der Lipschitz-Killing-Algebra ist. Vor kurzem haben wir eine Richtung dieser Vermutung bewiesen, nämlich dass der Unterraum der Winkelkrümmungmaße invariant ist unter der Wirkung der Lipschitz-Killing-Algebra. Eines unserer Hauptziele in diesem Projekt ist es die Umkehrung zu erforschen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen