Krümmungsmaße in der Konvex- und Integralgeometrie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Projekt leistete einen Beitrag zu aktuellen Entwicklungen in einem Bereich der reinen Mathematik, der als Bewertungstheorie (valuation theory) bekannt ist. Diese Theorie untersucht, wie bestimmte mathematische Funktionen – sogenannte Bewertungen – die Größe oder Struktur geometrischer Objekte wie Polytope oder kompakter Untermannigfaltigkeiten erfassen können. In den letzten zwei Jahrzehnten haben Forscher entdeckt, dass solche Bewertungen eine reiche algebraische Struktur besitzen und enge Verbindungen zu Bereichen wie der Integralgeometrie und der Kombinatorik aufweisen. Ein zentrales Ziel des Projekts war die Untersuchung sogenannter Krümmungsmaße, die lokale Versionen von Bewertungen sind und eine wichtige Rolle in Anwendungen der Integralgeometrie spielen. Das Projekt legte die mathematischen Grundlagen für eine Theorie stetiger, translationsinvarianter Krümmungsmaße auf konvexen Körpern. Dabei wurden wichtige fundamentale Ergebnisse erzielt, unter anderem eine Vereinfachung der axiomatischen Definition sowie eine Charakterisierung von Krümmungsmaßen in bestimmten Dimensionen und Homogenitätsgraden. Ein weiterer Schwerpunkt des Projekts war die Ausdehnung dieser Konzepte auf allgemeinere Räume, sogenannte Mannigfaltigkeiten – geometrische Objekte, die lokal dem euklidischen Raum ähneln. In Zusammenarbeit mit anderen Forschern wurden neue Bewertungen und Krümmungsmaße für Kähler-Mannigfaltigkeiten entdeckt, die zentrale Objekte in der modernen Geometrie und theoretischen Physik darstellen.Unerwarteterweise trug das Projekt auch zur Entdeckung einer neuen algebraischen Struktur auf dem Raum der Bewertungen bei, die umgangssprachlich als „Kähler-Paket“ bezeichnet wird – eine Sammlung tiefgreifender geometrischer und algebraischer Eigenschaften, die ursprünglich in der komplexen Geometrie beobachtet wurden. Diese Struktur umfasst unter anderem die berühmten Hodge–Riemann-Relationen und den schweren Lefschetz-Satz, die beide zentrale Bestandteile der modernen algebraischen Geometrie sind.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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On mixed Hodge–Riemann relations for translation-invariant valuations and Aleksandrov–Fenchel inequalities. Communications in Contemporary Mathematics, 24(07).
Kotrbatý, Jan & Wannerer, Thomas
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Curvature measures of pseudo-Riemannian manifolds. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 2022(788), 77-127.
Bernig, Andreas; Faifman, Dmitry & Solanes, Gil
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From harmonic analysis of translation-invariant valuations to geometric inequalities for convex bodies. Geometric and Functional Analysis.
Kotrbatý, Jan & Wannerer, Thomas
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Hard Lefschetz theorem and Hodge-Riemann relations for convex valuations
Thomas Wannerer, A. Bernig & J. Kotrbatý
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Minkowski Valuations in Affine Convex Geometry. International Mathematics Research Notices, 2025(1).
Henkel, Jakob & Wannerer, Thomas
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Complex and quaternionic analogues of Busemann’s random simplex and intersection inequalities. Mathematische Annalen, 393(2), 1797-1825.
Saroglou, Christos & Wannerer, Thomas
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Dually Lorentzian Polynomials. Monatshefte für Mathematik, 208(3), 495-524.
Ross, Julius; Süss, Hendrik & Wannerer, Thomas
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The Fourier transform on valuations is the Fourier transform. Journal of Functional Analysis, 288(3), 110741.
Faifman, Dmitry & Wannerer, Thomas
