Geometrische Evolutionsgleichungen vierter Ordnung mit nichtlinearen Randbedingungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In unserem Projekt war es uns möglich, einen neuen geometrischen Fluss, also eine Gesetzmäßigkeit zur Beschreibung der Evolution von geometrischen Objekten, einzuführen. Unser Modell stellt eine Präzesierung des sogenannten Oberflächendiffusionsflusses dar. Dieser wurde von Mullins zur Modellierung der Verformung von erhitzten Polykristallen vorgeschlagen. Das von uns vorgeschlagene Modell haben wir in einer eindimensionalen Situation untersucht, in welcher es die zeitliche Entwicklung eines Graphen über der positiven reellen Achse beschreibt, wobei der Kontaktwinkel zur Geraden x = 0 fixiert wird. Wir konnten zeigen, dass unter geeigneten Voraussetzungen Lösungen für unser Problem existieren. Zudem existieren diese Lösungen für fast senkrechte Kontaktwinkel für alle positiven Zeiten. Schließlich konnten wir beweisen, dass die Lösungen für fast senkrechte Kontaktwinkel und kleine Anfangsdaten im Grenzfall t → ∞ dasselbe Grenzverhalten wie das ursprüngliche Modell von Mullins aufzeigen. Insbesondere der letzte Punkt ist relevant für die Materialwissenschaften, da er die von Mullins getroffenen Vereinfachungen rechtfertigt. Die Ergebnisse stimmen im Wesentlichen mit dem überein, was wir vor Projektbeginn erwartet hatten. Allerdings mussten die von uns verwendeten Methoden stark verändert werden. Ursprünglich dachten wir analog zu einer Arbeit von Asai und Giga vorgehen zu können. Allerdings stellte sich heraus, dass deren Vorgehen ”gerade so" für den Oberflächendiffussionsfluss aufgeht, für unser komplexeres Modell jedoch nicht.
