Dynamik von Kontaktprozessen auf Simplizialkomplexen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Nina Jael Gantert; Professor Christian Kühn, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 443731539

Wechselwirkende Partikelsysteme auf Graphen/Netzwerken haben in den letzten Jahrzehnten viele Wissenschaften durchdrungen. Die Modellierungsidee besteht darin, jedem Knoten einen Zustand zuzuordnen und dann ein dynamisches System auf dem Graphen zu definieren, indem man Interaktionen zwischen den Knoten über Kanten festlegt. Bekannte Beispiele sind der Kontaktprozess, das Wählermodell oder das Ising Modell, die alle im klassischen Fall auf Gittern definiert sind. In diesem Projekt, werden wir den Kontaktprozess auf allgemeineren geometrischen Strukturen untersuchen, die durch Simplizialkomplexe gegeben werden. Der klassische Kontaktprozess auf Gittern wird durch zwei Regeln definiert: die Gesundung eines infizierten Knotens mit einer festen Rate und die Infektion eines gesunden Knotens mit einer Rate proportional zur Anzahl der infizierten Nachbarn. Jedoch ist die Modellierung nur binäre Wechselwirkungen von zwei Knoten entlang einer Kante zu erlauben oft zu einfach, gerade im Kontext der sozialen Ansteckungsprozesse. In diesem Projekt werden wir Regeln untersuchen, wie Knoten über höherdimensionale Simplices hinweg interagieren können. In diesen neuen Kontaktprozessmodellen werden wir die mathematischen Grundlagen des zugrunde liegenden Markov-Prozesses, die Existenz von invarianten Maßen und den Einfluss der Simplicialstruktur auf die Dynamik analysieren. Insbesondere fokussieren wir uns hier auf drei Hauptstrukturen für den Kontaktprozess: (1) gitterartige Komplexe, (2) skalenfreie zufällige Komplexe und (3) adaptive Komplexe. Wir erwarten für (1) und (2) mehrere rigorose Resultate mittels probabilistischer Techniken wie Kopplung, Dualität, Regenerationszeiten, usw. Im Kontext von adaptiven Komplexen in (3), bei denen die Dynamik von und auf dem Komplex gekoppelt ist, werden wir numerische Methoden mit formalen Momentenschließungsschemata kombinieren um approximierende Differentialgleichungen zu erhalten. Zusammenfassend wird das Projekt zu grundlegenden Verbindungen zwischen höher-dimensionalen geometrischen Strukturen, wechselwirkenden Partikelsystemen, stochastischer Dynamik und verschiedene Anwendungen führen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme