Konzentration und Kumulanten für stabilisierende Funktionale von Punktprozessen

• Antragsteller: Professor Dr. Christoph Thäle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 443779210

Zahlreiche Funktionale der stochastischen Geometrie können als Summen sogenannter Punktfunktionen (score functions) über einer zufälligen Punktkonfiguration beschrieben werden, wobei der Wert der Funktion an einem gegebenen Punkt von dessen Lage sowie der umgebenen Punktkonfiguration lokal abhängt. Die Begriff des stabilisierenden Funktionals formalisiert dies mathematisch. Die Theorie stabilisierender Funktionale beweist probabilistische Grenzwertsätze für solche Funktionale bei wachsender Intensität des zugrunde liegenden Puntprozesses und wurde in den frühen 2000er Jahren von Penrose und Yukich begründet. Sie gehört seit dem zum aktiven Kern der räumlichen Stochastik und besitzt eine Vielzahl von Anwendungen.Im vorgeschlagenen Forschungsprogramm wird die Theorie stabilisierender Funktionale in Bezug auf Konzentrationsungleichungen weiterentwickelt. Die Hauptziele des Programms lassen sich wie folgt zusammenfassen.(a) Es werden Kumulantenschranken für oberflächen-stabilisierende Funktionale entwickelt. Dies geschieht zunächst für Funktionale von Poissonprozessen und anschließend für allgemeinere Punktprozessmodelle, beispielsweise für Gibbsprozesse und Punktprozesse mit schnell abklingenden Korrelationen.(b) Es werden Methoden der stochastischen Analysis für Poissonprozesse genutzt (insbesondere logarithmische Sobolev-Ungleichungen und Kovarianzidentitäten), um Konzentrationsungleichungen für stabilisierende und oberflächen-stabilisierende Funktionale zu beweisen. Dies geschieht zunächst unter restriktiven Annahmen an die Punktfunktionen (z.B. für Zufallsgrößen im Gilbert-Graph), um verschiedene Methoden zu vergleichen. In einem zweiten Schritt wird die vielversprechendste Methode auf allgemeine Funktionalklassen angewendet und es werden auf diesem Wege neue Ungleichungen für Modelle der stochastischen Geometrie gewonnen.(c) Es werden Modelle der stochastischen Geometrie in nichteuklidischen Räumen als konkrete Anwendungen untersucht. In Fokus stehen dabei geometrische Zufallsgraphen sowie Poisson-Voronoi-Mosaike in Räumen konstanter Krümmung $+1$, $0$ oder $+1$. Es werden auch die zur Behandlung dieser Modelle notwendigen geometrischen Hilfsmittel im Rahmen des Projekts entwickelt.(d) Als langfristiges Ziel werden Prinzipien großer Abweichungen für große Klassen stabilisierender Funktionale verfolgt, indem bereits vorhandene Methoden verfeinert und weiterentwickelt werden. In einem zweiten Schritt sollen auch oberflächen-stabilisierende Funktionale behandelt werden. Die auf diesem Wege gewonnenen Resultate ziehen wiederum Konsequenzen für spezifische Modelle der stochastischen Geometrie in nichteuklidischen Räumen nach sich.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme