Integralgeometrie in Räumen konstanter Krümmung und Anwendungen in der Stochastischen Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Daniel Hug
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 443914364

Die Integralgeometrie liefert unverzichtbare Werkzeuge für die mathematische Analyse von zufälligen geometrischen Systemen in Euklidischen Räumen, und umgekehrt werden neue Entwicklungen in der Integralgeometrie häufig durch natürliche Anforderungen aus der Stochastischen Geometrie oder der Statistischen Physik ausgelöst. Aktuelle Entwicklungen in der translativen Integralgeometrie und zu Tensor-Bewertungen wurden schon erfolgreich in der Dichtefunktionaltheorie in der Physik angewendet. Wir beabsichtigen die Integralgeometrie von tensorwertigen Funktionen und von allgemeineren homogenen, geometrischen Bewertungen im Euklidischen und im sphärischen Raum zu untersuchen. Die translative Integralgeometrie führt in natürlicher Weise zu gemischten Funktionalen endlicher Folgen konvexer Körper. Ein wichtiges Langzeitziel besteht darin, den Zusammenhang zwischen diesen gemischten Funktionalen und gemischten Volumina zu verstehen und beide Serien von Funktionalen durch gemeinsame fundamentale Maße, wie etwa Fahnenmaße, zu beschreiben. Weiterhin werden wir zentrale Modelle der Stochastischen Geometrie und hierbei insbesondere zufällige Mosaike, Boolesche Modelle oder zufällige Graphen im hyperbolischen Raum untersuchen. Unsere Vorarbeiten über Poissonsche Hyperebenenprozesse im hyperbolischen Raum haben gezeigt, dass eine Reihe von unerwarteten Phänomenen in Räumen von konstanter negativer Krümmung auftreten können. Wir werden die erforderlichen Hilfsmittel zur Integralgeometrie in hyperbolischen Räumen entwickeln, die für die Analyse von zufälligen geometrischen Systemen im hyperbolischen Raum benötigt werden, und darauf aufbauend spezifische Anwendungen wie zum Beispiel auf zufällige Mosaike und Boolesche Modelle in nicht-Euklidischen Räumen betrachten.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme
• Internationaler Bezug: Schweiz, Tschechische Republik, Ungarn
• Kooperationspartner: Professor Dr. Károly Böröczky; Dr. Jan Rataj; Professor Dr. Matthias Schulte