Phasenübergänge in Modellen zufälliger Schlingen

• Antragsteller: Professor Lorenzo Taggi, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 444084038

Modelle zufälliger Schlingen sind Systeme der statistischen Mechanik, deren Realisierungen geschlossene Trajektorien sind, die in einem höherdimensionalen Raum leben. Sie stoßen aus vielen verschiedenen Gründen auf Interesse, zum Beispiel wegen ihrer reichen und faszinierenden Phänomenologie — dies hängt stark von den Eigenschaften des zugrundeliegenden Raums ab — und von deren engen Verbindungen zu quantenmechanischen und klassischen physikalisch relevanten statistischen Mechanikmodellen, von denen sie häufig eine alternative Formulierung darstellen. Dieser Antrag betrachtet eine wichtige Klasse von Schlingenmodellen im diskreten Raum. Diese Klasse umfasst das Modell der Gitterpermutationen, das in unserem Forschungsprogramm eine zentrale Rolle spielt. Gitterpermutationen sind ein relativ neues Modell in der mathematischen statistischen Mechanik und beanspruchen Interesse aus einer Vielzahl von Perspektiven. Dazu gehören ihre Verbindungen zum Quanten-Bose-Gas, einem der wichtigsten, ungelösten Modelle der statistischen Mechanik, und zum Loop-O(N) -Modell, das in den letzten Jahren ein zunehmendes Interesse in den Communities der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Physik gefunden hat.Wir wollen grundlegende Fortschritte beim Verständnis der wichtigsten und faszinierendsten Eigenschaft dieser Systeme erzielen, nämlich des Phasenübergangsphänomens, das die Geometrie und die Größe der Schleifen beschreibt. Dies ist eine herausfordernde Aufgabe, da nur wenige mathematische Techniken für die genaue Untersuchung von Phasenübergängen bekannt sind und Gitterpermutationen sich erheblich von klassischen Modellen wie Spin-Systemen und Perkolation unterscheiden. Darüber hinaus führt die Bedingung der Selbstüberschneidungsfreiheit zu langfristigen Korrelationen, die ein schwerwiegendes mathematisches Hindernis darstellen. Trotz dieser Schwierigkeiten hat der Antragsteller in letzter Zeit wichtige Fortschritte erzielt, indem er die Eigenschaften eines neuen allgemeinen Modells, des Zufallspfadmodells, nutzt, das Gitterpermutationen und viele andere Modelle - vor allem Schleifendarstellungen von Spinsystemen — als Sonderfälle beinhaltet. Die Beschreibung solcher - scheinbar nicht miteinander verwandter - Modelle in einem einheitlichen Rahmen ermöglichte die Neuformulierung klassischer Techniken, die für Spin-Systeme entwickelt worden waren, in die Sprache von Zufallsschleifen, zum Beispiel Reflexionspositivität. Wir wollen solche Techniken und Verbindungen weiterentwickeln und neue Bestandteile einführen. Insbesondere wollen wir das Auftreten von makroskopischen Schleifen in Gitterpermutationen in den Dimensionen d > 2 nachweisen, unser Verständnis des Phasenübergangsphänomens über den Fall von Wechselwirkungen mit nächsten Nachbarn hinaus erweitern, hinreichende Bedingungen für das Auftreten eines Phasenübergangs in Spinsystemen, und schliesslich Auskunft über die Größe und die Geometrie der Schleifen in zwei Dimensionen geben.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme
• Internationaler Bezug: Italien