Geometrische Desingularisierung von Singularitäten höherer Kodimension in schnell-langsam Systemen

• Antragsteller: Professor Christian Kühn, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 444753754

Dynamische Systeme mit verschiedenen Zeitskalen treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und sind ein Eckpfeiler in der mathematischen Analysis von singulär-gestörten Differentialgleichungen. In diesem Projekt werden die theoretischen Aspekte von Systemen mit zwei Zeitskalen, sogenannten schnell-langsam Systemen, untersucht werden, wobei der Schwerpunkt auf Singularitäten höherer Kodimension liegt. Die hier vorgeschlagene Arbeit hat zwei mathematische Hauptmotive: Zum einen gibt es ein abstraktes Klassifikationsproblem von schnell-langsamen Systemen nach ihren Singularitäten, welches aus der Singularitätstheorie und Takens' Arbeit an eingeschränkten Differentialgleichungen stammt; auf der anderen Seite gibt es neue Entdeckungen in adaptiven Netzwerken, die auf die große Relevanz von Singularitäten jenseits der klassischen Fälle hinweisen. Im Detail werden wir zwei Fälle lokaler Entfaltungen für schnell-langsame Systeme mit einzelnen degenerierten Punkten im schnellen Subsystem studieren: $D_4^\pm$-Singularitäten (umbilics) und eine vierdimensionale schnell-langsame Bogdanov-Takens-Singularität. Darüber hinaus schlagen wir vor, die Erkenntnisse auf zwei Modelle von adaptiven Netzwerken mit schneller und langsamer Geschwindigkeit anzuwenden: Das erste ist ein schnell-langsames Konsensusmotiv mit drei dynamischen Gewichten, während sich das zweite mit einem Rivalitätsnetzwerk befasst. In solchen Modellen sind die Singularitäten beteiligt die mindestens zwei langsame Variablen für die vollständige Analysis der Dynamik benötigen, d.h., sie sind von höherer Kodimension im Vergleich zu klassischen gefalteten Singularitäten. Wir werden die geometrische Desingularisierung mittels der Blow-up Methods durchführen, um Trajektorien und invariante Mannigfaltigkeiten in der Nähe jeder Singularität zu verstehen. Wir verbinden diese Technik mit Stabilitätstheorie, Zentrumsmannigfaltigkeiten, asymptotischer Analysis von speziellen Gleichungen in Skalierungskarten, Bifurkationstheorie, und Variationsgleichungen. Die Ergebnisse des Projekts werden wichtige erweiterte Entfaltungsergebnisse für schnell-langsame Singularitäten, neue Reduktionstechniken für höherdimensionale schnell-langsame Systeme und ein tieferes geometrisches Verständnis der Dynamik von adaptiven Netzwerken mit zwei Zeitskalen liefern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen