Lange Extender, Varsovian Modelle, Kombinatorik

• Antragsteller: Professor Dr. Farmer Schlutzenberg, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 445387776

Mengenlehre liefert eine rigorose Grundlage für den Großteil der modernen Mathematik. Die üblichen Axiome dafür (ZFC) sind aber unvollständig, weswegen ein Fokus der Forschung der Mengenlehre auf dem Verständnis verschiedener Verstärkerungen von ZFC liegt. Diese Verstärkungen nehmen verschiedene Formen an, wobei die Axiome großer Kardinalzahlen, die die Existenz starker Formen von Unendlichkeit postulieren, eine der wichtigsten sind. Es gibt enge Verbindungen zwischen diesen und scheinbar unabhängigen Axiomen, die zum Beispiel Gewinnstrategien unendlicher Spiele oder unendliche Kombinatorik behandeln.Einen Teil unseres tiefsten Verständnisses der großen Kardinalzahlen liefern uns sogenannte innere Modelle, die besondere Teile des Universums der Mengenlehre bilden. Zu einem Axiom großer Kardinalzahlen A würde man gerne ein natürliches minimales inneres Modell MA finden, in dem A gilt. Solche Modelle werden Mäuse genannt. Mäuse M werden von einer Folge EM von Ultrafiltern oder Extendern gebaut, welche Mengen von hoher Komplexität sind und aus den große Kardinalzahlen entstehen. Mithilfe einer biologischen Analogie könnte die Extenderfolge als die DNA-Sequenz einer Maus betrachtet werden. Es gibt auch eine reiche Theorie der Eigenschaften von Mäusen.Forscher der inneren Modelle haben Mäuse konstruiert, die Woodin-Kardinalzahlen erreichen, was eine große Kardinalzahl der mittleren Stärke ist. Die größte Schwierigkeit bei der Konstruktion stärkerer Mäuse ist, die Iterierbarkeit gebauter Mäuse festzustellen. Iterierbarkeit impliziert unter Ander Stärke ist. Die größte Schwierigkeit bei der Konstruktion stärkerer Mäuse ist, die Iterierbarkeit gebauter Mäuse festzustellen. Iterierbarkeit impliziert unter Anderen, dass die Extenderfolge EM sorgfältig gedehnt werden kann, und dadurch mit den Folgen anderer Mäuse verglichen werden. Iterierbarkeit erfordert die Existenz einer Iterationstrategie (welche den Dehnenvorgang erzielt) und schließt den Umgang mit (oft stark komplexen) Iterationbäumen ein.Das Ziel dieses Projekts ist die Lösung einiger Probleme innerhalb (eines Teils von) 3 Problembereichen der Theorie der inneren Modelle. Diese lauten: 1. Besondere Methoden, die für kurze Extender bekannt sind, zu langen Extendern zu erweitern. (Lange Extender sind komplexer als die Kurzen, und nicht so klar verstanden.)2. Spezielle Fragen bezüglich Varsovian Modellen zu untersuchen. (Diese sind kürzlich entdeckte Strukturen, welche innerhalb von Mäusen vorkommen können, und welche eine Maus benutzen kann, um einen bedeutenden Teil ihrer Iterationstrategie zu berechnen. Sie bilden auch in einem Sinn einen kanonischen \Kern" einer Maus.)3. Besondere kombinatorische Fragen und deren Verbindungen zu inneren Modellen. (Ein Ziel hierbei ist die Studie besonderer Karo-Prinzipien innerhalb von Mäusen - Karos können den Inhalt vieler anderen Mengen gut vorhersagen. Ein weiteres Ziel ist mithilfe von Mäusen die Kombinatorik des umgebenden Universums zu untersuchen.).

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich