Optimierte Schwarz-Methoden für zeitharmonische Wellenprobleme in Hohlraumresonatoren
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Numerische Simulationen von zeitharmonischen Wellenproblemen sind heutzutage von großer Bedeutung in der Weiterentwicklung von Schlüsseltechnologien, wie bildgebende Verfahren in der Medizin, Teilchenbeschleuniger oder Photonik, um nur einige zu nennen. Darüber hinaus wächst der Bedarf an numerischer Behandlung von Problemen, die groß im Vergleich zur betrachteten Wellenlänge sind. Dies erfordert daher einen geeigneten numerischen Löser, der die Rechnenleistung von Hochleistungsrechnenanlagen voll ausschöpfen kann. Leider sind für den Fall der zeitharmonischen Wellenprobleme nur wenige geeignete Methoden verfügbar. Diese haben sich in unterschiedlichen Ingenieursdisziplinen als sehr effizient erwiesen, so beispielsweise für Antennen-Arrays, photonische Wellenleiter oder medizinische Tomographie. Dennoch ist deren Leistung bei der Behandlung von Hohlraumresonatoren dermaßen gering, dass der numerische Aufwand in nicht handhabbare Größenordnungen steigt. In diesem Forschungsprojekt haben wir uns auf eine bestimmte Familie von Methoden konzentriert, nämlich den optimierten Schwarz-Algorithmus, wo das Berechnungsgebiet in kleinere Teile, deren numerische Behandlung einfacher ist, aufgeteilt wird. Die endgültige Lösung wird dann iterativ durch den Austausch von Randinformationen zwischen den Teilgebieten berechnet. Dieser Austausch wird mit dem so genannten Transmission-Operator, der der Grundpfeiler der Schwarz-Methode ist, durchgeführt. Dieser Operator ist im Grunde eine Schätzung des Verhaltens der Welle am Rand zwischen zwei Teilgebieten des Problems, wenn das gesamte Rechnengebiet berücksichtigt wird. Daraus folgt, dass weniger Iterationen erforderlich sind, wenn diese Schätzung besser ist. Im Rahmen dieser Arbeit wurden neuartige Transmission-Operatoren für den Fall von zeitharmonischen akustischen (Helmholtz-)Hohlraumproblemen entwickelt. Bei Anwendung auf Geometrien, die nur geringfügig von einem rechteckigen Hohlraum abweichen, übertreffen die neuen Operatoren den Stand der Technik, der für unbeschränkte Probleme entwickelt wurde. Bei der Betrachtung allgemeinerer Konfigurationen ist ihre Leistung im schlimmsten Fall mit dem Stand der Technik vergleichbar, zumindest wenn nur die Anzahl der Iterationen beachtet wird. Tatsächlich sind die neuartigen Operatoren mit einem höheren Rechnenaufwand pro Iteration verbunden. Dieser Aspekt könnte durch zukünftige Forschungen verbessert werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Transmission operators for the non-overlapping Schwarz method for solving Helmholtz problems in rectangular cavities. Computers & Mathematics with Applications, 138, 37-64.
Marsic, Nicolas; Geuzaine, Christophe & De Gersem, Herbert
