Kombination von Isogeometrischer Analyse (IGA), Finite-Elemente-Methoden (FEM) und Embedded-Mesh-Kopplungsverfahren (EM) für Kontaktprobleme

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Alexander Popp
• Fachliche Zuordnung: Angewandte Mechanik, Statik und Dynamik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 446494172

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Modellierung und numerische Simulation von Kontaktproblemen und den damit verbundenen physikalischen Phänomenen (z. B. Reibung, Adhäsion) stellen in vielen Bereichen des Bauingenieurwesens eine Herausforderung dar. In den letzten Jahren wurden viele Fortschritte in der numerischen Simulation solcher Probleme erzielt, mit besonderem Fokus auf die Entwicklung von Formulierungen, die auf der Finite-Elemente-Methode (FEM) basieren. Solche Formulierungen profitieren von einer genauen Darstellung der Kontaktfläche, die teilweise durch eine feine Netzauflösung oder durch die Verwendung von hochwertigeren Elementen erreicht werden kann. Bei einer Diskretisierung mit typischen Lagrange-Polynomen als Ansatzfunktionen liefert das resultierende Netz jedoch keine glatte Darstellung von gekrümmten Oberflächen und ist auf C⁰-Stetigkeit an den Elementübergängen beschränkt. Mit anderen Worten weist die diskretisierte Oberfläche ein nicht-kontinuierliches Feld von Normalvektoren auf, was zusätzliche Komplexität für Kontaktalgorithmen mit sich bringt. Um diese Nachteile zu vermeiden, wurden Ansätze entwickelt, die auf der isogeometrischen Analyse (IGA) basieren. Bei IGA basiert die Diskretisierung auf der exakten CAD-Geometrie, wobei glatte und höherwertige Funktionen verwendet werden, wie Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS). Solche Formfunktionen bieten eine beliebig hohe Stetigkeit zwischen den Elementen. Die Generierung von isogeometrischen Netzen kann jedoch bei komplexen Geometrien herausfordernd sein. Darüber hinaus ist die Übertragung der höheren Stetigkeit in das Volumen des Gebiets bei Problemen mit reduzierter Regularität, wie es bei unilateralen Kontaktproblemen der Fall ist, möglicherweise nicht erforderlich. Sowohl die FEM- als auch die IGA-Formulierungen bieten Vorteile, die kombiniert werden können, um neue Möglichkeiten zur Lösung von Kontaktproblemen zu schaffen. Daher bestand das Ziel dieses Projekts darin, die Vorteile von IGA und FEM zu kombinieren, indem zwischen der Diskretisierung der Kontaktfläche des Körpers und seinem Inneren unterschieden wird. Die Kontaktfläche, die durch eine NURBS-Boundary-Representation dargestellt wird, wird hierzu extrudiert, wodurch ein NURBS-Randschichtnetz entsteht. Das innere Volumen wird zusätzlich mit einem regulären FEM- oder IGA-Hexaedernetz in der Referenzkonfiguration diskretisiert. Die resultierenden überlappenden Netze werden durch geeignete Methoden zur Einbettung von Netzen (sogenannte Embedded-Mesh-Kopplungsverfahren) gekoppelt. Während der Förderperiode wurde zuallererst ein Pre-Processing-Framework für den internen Forschungscode 4C¹ etabliert. Dieses besteht hauptsächlich aus zwei Teilen: der Generierung einer isogeometrischen Randschicht und der Erstellung eines eingeschlossenen kartesischen Netzes. Drei Methoden wurden untersucht, um Kurven und Flächen, die durch NURBS-Formfunktionen dargestellt werden, zu extrudieren. Im Bereich der numerischen Methodenentwicklung wurde ein Ansatz zur eingebetteten/überlappenden Netzkopplung in 4C entwickelt. Konkret wurde ein Mortar-/Lagrange-Multiplikator-basiertes Embedded-Mesh-Kopplungsverfahren implementiert und untersucht. Für die Integration von geschnittenen Elementen wurde ein bereits vorhandener dreidimensionaler Tessellationsalgorithmus erweitert, um mit NURBS-basierten Oberflächen umgehen zu können. Obwohl die Untersuchung von Nitsche-Methoden und anderen Stabilisierungsverfahren während der Projektlaufzeit nicht abgeschlossen werden konnte, stellen die erreichten Ergebnisse doch eine tragfähige Basis dar, um das Embedded-Mesh-Framework in Zukunft auch auf solche Ansätze zu erweitern.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Coupling of NURBS boundary layer meshes with bulk finite element meshes using mortar methods, 10th Contact Mechanics International Symposium (CMIS 2022), Chexbres, Switzerland, May 23 - 25, 2022, & FE ohne Schnee, (2022), Mittelberg, Austria, July 16 - 19, 2022
  E.G. Loera Villeda & A. Popp
  
• Towards an embedded mesh approach for treating overlapping isogeometric and finite element meshes, 9th GACM Colloquium on Computational Mechanics (GACM 2022), Essen, Germany, September 21 - 23, 2022
  E.G. Loera Villeda & A. Popp
  
• Towards an embedded mesh approach for isogeometric boundary layers in contact mechanics, 7th International Conference on Computational Contact Mechanics (ICCCM 2023), Torino, Italy, July 5 - 7, 2023
  E.G. Loera Villeda, I. Steinbrecher & A. Popp
  
• Towards an embedded mesh approach for overlapping isogeometric and finite element meshes in contact mechanics, 11th International Conference on Isogeometric Analysis (IGA 2023), Lyon, France, June 18 - 21, 2023
  E.G. Loera Villeda, I. Steinbrecher & A. Popp
  
• An embedded mesh approach for coupling tailored isogeometric and finite element meshes for contact problems, 9th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2023), Lisbon, Portugal, June 3 - 7, 2024
  E.G. Loera Villeda, I. Steinbrecher & A. Popp