Klassifizierung von polynomiellen Abbildungen mittels polyedrischer Geometrie

• Antragsteller: Boulos El Hilany, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 446593912

In Platos Höhlengleichnis können Menschen, die seit ihrer Kindheit in einer Höhle leben, nur die Schatten der Geschehnisse aus der "echten" Welt außerhalb der Höhle sehen. Die Höhlenbewohner kennen keine andere Realität als diese Schattenbilder auf der Höhlenwand - sie können sich nicht umdrehen, um aus der Höhle herauszusehen.Bezüglich der Topologie von Polynomen sind wir auf ähnliche Weise eingeschränkt: Wir betrachten die Bifurkationsmenge -die Schatten auf der Höhlenwand- um Aussagen über atypische Fasern zu treffen - also über die "echten" Objekte, die diese Schatten werfen. Laut Plato schaffen es nur wenige wahre Philosophen, die Höhle zu verlassen. Wir werden uns vorerst damit begnügen, Schlüsse aus den Schatten zu ziehen.Dieses Projekt untersucht polynomielle Abbildungen von der komplexen Ebene in sich selbst. Das bedeutet, dass die Koordinaten von Punkten im Bild unter diesen Funktionen Polynome in den Koordinaten des Quellraumes sind. Als topologischen Typ einer solchen Abbildung bezeichnet man die Form, die der Lokus des jeweiligen Urbildes über dem Zielraum annimmt.Die Unterscheidung zwischen topologisch identischen und unterschiedlichen polynomiellen Abbildungen ist für verschiedene Anwendungsgebiete in der Mathematik von entscheidender Bedeutung. Beispielsweise verändert sich das Verhalten von iterierten polynomiellen Abbildungen in dynamischen Systemen und von Likelihood-Funktionen eines impliziten statistischen Modells. Auch Lösungen von Optimierungsproblemen können signifikant voneinander abweichen, wenn die jeweiligen polynomiellen Abbildungen sich in ihrer Topologie unterscheiden.Der Mangel an leistungsfähigen Verfahren, um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, hemmt zur Zeit jeden Fortschritt bezüglich des offenen Problems der topologischen Klassifikation polynomieller Abbildungen. In diesem Projekt werde ich Methoden entwickeln, um diese Lücke zu füllen.Meiner Ansicht nach ist eine genauere Beschreibung der Bifurkationsmenge eine ideale Grundlage für die Entwicklung solcher Methoden. Die Bifurkationsmenge ist die kleinste Menge von Punkten im Bildraum, für die das Urbild eine lokal triviale Faserung ist.Ich habe kürzlich eine kombinatorische Methode entwickelt, um den Teil der Menge zu beschreiben, der zu atypischem Verhalten außerhalb der komplexen Ebene führt. Für den verbleibenden Teil werde ich bereits bekannte Techniken wie A-Diskriminanten und torische Geometrie verwenden. Indem ich diese Methoden verbinde, werde ich zwei voneinander unabhängige Beschreibungen erhalten, die jeweils für bestimmte Anwendungen geeignet sind:Erstens eine präzise Beschreibung, die für Polynome mit einfacher Struktur geeignet ist. Zweitens vier mögliche Herangehensweisen, um das Problem in eine Klassifikation kombinatorischer Arten von tropischen Kurven umzuwandeln. Dies werde ich durch die Entwicklung eines Korrespondenztheorems beweisen, welches die Topologie planarer Kurven mit der Kombinatorik von Graphen verbindet.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle