Numerische Methoden für Wellenprobleme mit nicht-trivialen Randbedingungen

• Antragsteller: Professor Dr. Robert Altmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 446856041

Dieses Projekt befasst sich mit der numerischen Analyse von hyperbolischen Problemen wie der Wellengleichung in Verbindung mit nicht-trivialen Randbedingungen. Diese beinhalten kinetische als auch akustische Randbedingungen und können - im Gegensatz zu Dirichlet oder Neumann-Randbedingungen - das Verhalten am Rand in besonderer Weise widerspiegeln. Diese Möglichkeit ist unverzichtbar, wenn es darum geht, spezielle Eigenschaften der Randdynamik zu modellieren, wie es beispielsweise bei der Membran einer Trommel der Fall ist. Die numerischen Methoden, die in diesem Projekt konstruiert und analysiert werden sollen, basieren auf einer Umformulierung des Problems als eine partiell-differential-algebraische Gleichung. Das bedeutet, dass die Dynamik auf dem Rand als eigenständiges System betrachtet wird, welches dann an die Wellengleichung im Inneren des Gebiets gekoppelt wird. Diese alternative Formulierung ermöglicht die Wahl verschiedener Gitterweiten oder sogar ganz unterschiedlicher Diskretisierungsansätze im Inneren und auf dem Rand. Dies wiederum verspricht signifikante numerische Vorteile, wenn auf dem Rand starke Oszillationen (hervorgerufen zum Beispiel durch nichtlineare oder heterogene Effekte) eine Rolle spielen. Die dazugehörige Analysis verbindet sogenannte gemischte Methoden der Finite-Elemente-Welt mit Techniken aus dem Bereich der differential-algebraischen Gleichungen. Desweiteren sollen Zeitintegrationsmethoden vom Gautschi-Typ auf die hier betrachteten hyperbolischen Gleichungen mit Nebenbedingungen verallgemeinert werden. Dies ermöglicht dann eine explizite Zeitdiskretisierung solcher Systeme ohne restriktive Schrittweitenbeschränkung. Ein weiteres zentrales Themenfeld dieses Projekts ist die Entwicklung von Splitting-Verfahren, die Gebiets- und Randdynamik entkoppeln. Damit können die Teilprobleme im Inneren und auf dem Rand sequentiell gelöst werden, was wiederum mehr Flexibilität bei der Zeit- und Ortsdiskretisierung ermöglicht. Insgesamt führt das dann auf effiziente Simulationswerkzeuge für die Wellengleichung mit nicht-trivialen Randbedingungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen