Darstellungskategorien von unendlichdimensionalen Lie-Algebren und Lie-Superalgebren und Automorphismen homogener Ind-Räume

• Antragsteller: Professor Dr. Ivan Penkov
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 448324667

Dies ist ein breiter Antrag im allgemeinen Gebiet der unendlichdimensionalen Lieschen Darstellungstheorie und damit verbundener Ind-Geometrie. Wir schlagen vor in die folgenden fünf Richtungen zu forschen.Kategorien von Tensormoduln über Mackey Lie-Algebren als universelle monoidale Kategorien. Unser Plan ist die universelle additive lineare symmetrische monoidale Kategorie, die von zwei Objekten $X$ und $Y$ mit einer Paarung $X\otimes Y \rightarrow \text{\textbf{1}}$ und mit fixierten Filterungen von Länge zwei $X_0\subsetX$, $Y_0\subsetY$ generiert ist, zu erforschen. Wir realisieren diese Kategorie als eine Modulkategorie über der Mackey Lie-Algebra $\mathfrak{gl}(V,V_*)$ (deren Definition in Sektion 1.A zu finden ist).Kategorien von Tensormoduln über Lie-Algebren und Lie-Superalgebren (Dissertationsprojekt für Aleksandr Shevchenko). Wir planen eine von V. Serganova erfundene Äquivalenz von Kategorien auf andere Kategorien von Moduln über finitären Lie-Algebren $\mathfrak{sl}(\infty)$, $\mathfrak{o}(\infty)$, $\mathfrak{sp}(\infty)$ zu übertragen. Diese Äquivalenz verbindet Modulkategorien über Lie-Algebren unendlichen Rangs mit Modulkategorien über Lie-Superalgebren unendlichen Rangs.Kategorien von beschränkten Gewichtsmoduln über klassischen Lie-Superalgebren im Unendlichen. Wir schlagen vor die einfachen beschränkten Gewichtsmoduln über der Lie-Superalgebra $\mathfrak{osp}(\infty|\infty)$ zu klassifizieren und ausdrücklich zu beschreiben. Des Weiteren wollen wir die Kategorie von beschränkten Gewichtsmoduln, sowie jeweilige Kategorien von Moduln über anderen klassischen Lie-Superalgebren unendlichen Rangs erforschen.Automorphismengruppen von Ind-Varietäten $G/P$ für $G=GL(\infty)$, $O(\infty)$, $Sp(\infty)$. Wie schlagen eine systematische Studie der Automorphismengruppen von Ind-Varietäten verallgemeinerter Fahnen vor, und skizzieren einen detaillierten Ansatz im Falle der Grassmannschen Ind-Varietäten.Kategorie $\mathcal{O}$ mit großem lokalem Annulator, $\mathcal{OLA}$ (Postdoc Projekt für Dr. Pablo Zadunaisky). Wir planen ein neues Analogon der Kategorie $\mathcal{O}$, die zwei kürzlich erforschte Kategorien von $\mathfrak{sl}(\infty)$-Moduln, $\mathcal{OLA}$ und $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}, \mathfrak{k}}$, enthält, im Detail zu untersuchen. Diese neue Kategorie soll eine Höchstgewichtskategorie mit Standardmoduln von unendlicher Länge sein, und ihre Unterkategorie von integrierbaren $\mathfrak{sl}(\infty)$-Moduln soll mit $\mathbb{T}_{\mathfrak{g}, \mathfrak{k}}$ übereinstimmen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen