Logarithmische Hodge-Strukturen in der Spiegelsymmetrie

• Antragsteller: Simon Felten
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 451094600

In der Geometrie untersuchen wir Räume. Darunter verstehen wir geometrische Strukturen wie Geraden, Ebenen oder die Kugeloberfläche. In der Spiegelsymmetrie - einem Teilgebiet der Geometrie - interessieren wir uns für Paare zweier Räume, die auf eine gewisse abstrakte Weise komplementär sind. Wir haben die Vision, dass wir genau verstehen, was es mit diesen Paaren auf sich hat. Als Hilfsmittel dafür können wir z.B. jedem Raum eine sogenannte Hodge-Struktur zuordnen. Diese Hodge-Struktur kodiert Informationen über den Raum; damit haben wir zwei Vorteile: Erstens sind viele Räume durch ihre Hodge-Struktur bereits eindeutig bestimmt. Zweitens ist es oft einfacher, die Hodge-Struktur zu untersuchen, als den Raum selbst.Wenn wir einen Raum ein wenig verändern, bleiben die - aus Sicht der Spiegelsymmetrie - relevanten Eigenschaften gleich. Das gilt auch noch dann, wenn wir ihn so stark verändern, dass er entartet ist. Eine Entartung haben wir z.B. dann, wenn wir den Parameter einer Hyperbel immer kleiner machen, bis sie vollends mit den beiden Koordinatenachsen zusammenfällt. Der Spiegelsymmetrie-Ansatz von Gross und Siebert ist, dass wir hier nicht die ursprüngliche Hyperbel, sondern ihre Entartung - die beiden Koordinatenachsen - untersuchen. Diese Entartung ist nicht nur ein Raum, sondern sogar ein logarithmischer Raum. Grob gesagt bedeutet das, dass er "weiß", dass er aus einer Hyperbel entstanden ist, und nicht schon immer entartet war.Weil wir jedem Raum eine Hodge-Struktur zuordnen können, erwarten wir, dass wir genauso jedem logarithmischen Raum eine logarithmische Hodge-Struktur (LHS) zuordnen können. Wir wissen zwar schon, was eine LHS sein soll, aber wir wissen noch nicht, wie man einem log-Raum eine LHS zuordnet. Nur in den einfachsten Fällen wissen wir das schon. Das Hauptziel dieses Projektes ist herauszufinden, wie wir einem log-Raum eine LHS zuordnen können.Gross und Siebert haben gezeigt, wie wir Spiegelpaare von log-Räumen bekommen können. Diese log-Räume haben jedoch eine sehr spezielle Form. Im Gegensatz dazu beschreiben LHS vermutlich viel allgemeinere log-Räume. Wenn wir die Spiegelkonstruktion von Gross und Siebert also in die Sprache der LHS übersetzen können, dann sehen wir vielleicht genauer, was es mit den Spiegelpaaren auf sich hat.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Aise Johan de Jong