Erzeugung nichtlinearer Simplexnetze mit Garantien

• Antragsteller: Professor Dr. Marcel Campen
• Fachliche Zuordnung: Bild- und Sprachverarbeitung, Computergraphik und Visualisierung, Human Computer Interaction, Ubiquitous und Wearable Computing
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 451286978

Das Zerlegen komplexer 2D oder 3D Objekte in strukturell einfache Elemente (wie Dreiecke oder Tetraeder) ist ein zentraler Aspekt in Bereichen wie Simulation, Design, Fabrication, Animation und Computergrafik. Auf Netzen solcher Elemente können etwa Funktionsräume definiert werden, auf die Algorithmen rigoros aufsetzen können. Der Bedarf an solchen Netzen hat bereits zu zahlreichen Entwicklungen im Bereich der algorithmischen Netzerzeugung geführt. Die allgemeine Problemstellung lautet: gegeben eine Beschreibung des Randes eines 2D oder 3D Objekts, erzeuge automatisch eine qualitativ angemessene Netzrepräsentation des Objektinnern.Der Hauptfokus lag dabei auf linearen Netzen, mit geraden Kanten. Im häufigen Fall, dass ein Objektrand jedoch nicht stückwiese planar ist, können diese das Objekt nur approximierend beschreiben; das Netz ist nicht randkonform. Präzise Randkonformität ist jedoch ein wichtiger Baustein in anspruchsvollen Anwendungsfällen, z.B. in der numerischen Analysis, bei der physikalischen Simulation, relevant für Genauigkeit und Effizienz. Eine fehlerfreie Repräsentation wird durch allgemeinere, nichtlineare Elemente ermöglicht. Insbesondere sind polynomielle oder rationale Elemente höherer Ordnung in der Lage sich randkonform an gekrümmte Objektränder zu schmiegen. Das Potenzial von Methoden, die auf solche Netze höherer Ordnung aufsetzen, wurde vielfach demonstriert.Eine ideale Methode zur Erzeugung solcher nichtlinearer Netze sollte Elemente hervorbringen, die 1) randkonform und 2) regulär sind. Ein Element höherer Ordnung ist regulär, wenn es durch eine Abbildung dieser Ordnung definiert wird, die injektiv ist – eine wichtige Voraussetzung, z.B. in der Finite Elemente Methode und verwandten Techniken. Übliche Netzerzeugungsmethoden für diesen Fall erzielen jedoch oft nur eine dieser beiden Eigenschaften verlässlich, nicht beide. Aus der Forschungsgruppe des PI stammt eine neuartige Strategie, die prinzipbedingt beide Eigenschaften systematisch garantiert. Bisherige Ergebnisse betreffen den Fall der nichtlinearen Dreiecksnetze für gekrümmte 2D Domänen; sie bilden den Ausgangspunkt dieses Projekts.Dieses Projekt zielt ab auf verlässliche Algorithmen zur Erzeugung valider Netze von beweisbar regulären randkonformen Elementen. Während die Vorarbeitsergebnisse auf den 2D Fall mit stückweise polynomiellen Rändern beschränkt sind, ist das Ziel hier den Kanon der praktisch relevanten Fälle abzudecken: 2D und 3D Domänen, polynomielle und rationale Ränder, C0 und höhere Stetigkeit. Auf diese Weise kann eine Fehlstelle geschlossen werden in der Reihe der Werkzeuge, die nötig sind, das Potenzial von Methoden, die auf nichtlineare Netze bauen, weiter voranzubringen. Die Projektergebnisse können Anwendungen von den Verlässlichkeitsproblemen entlasten, die in der nichtlinearen Netzerzeugung noch verbreitet, und gerade in modernen Szenarien beschwerlich sind, die auf die vollautomatische Verarbeitung großer Mengen von Daten setzen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen