Adaptive Quarklet-Frame-Verfahren hoher Ordnung für elliptische Operatorgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Stephan Dahlke; Professor Dr. Thorsten Raasch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 451355735

Wir befassen uns mit dem Design, der Konvergenzanalyse und effizienten Realisierung einer neuen Klasse adaptiver numerischer Methoden hoher Ordnung für partielle Differentialgleichungen. Im Projekt betrachten wir basis-orientierte Verfahren, die mit einer Wavelet-Version von hp-Finite-Element-Systemen arbeiten, sogenannten Quarklet-Systemen. Diese stückweise polynomiellen, oszillierenden Funktionen haben die spektralen Approximationseigenschaften eines hp-FE-Systems, und sind zudem Frames in einer Reihe von Funktionenräumen, etwa Sobolev-Räumen positiver und negativer Ordnung. Hierdurch werden z.B. anisotrope Tensorprodukt-Approximationstechniken ermöglicht. In diesem Projekt werden wir die Approximations- und Stabilitätseigenschaften von Quarklet-Systemen für das Design adaptiver Diskretisierungsverfahren einsetzen, die in vielen Fällen mit sub-exponentieller Rate konvergieren. Dazu werden wir eine Kombination neuer, mehrskaliger Regularitätsschätzer, zugehöriger Verfeinerungsstrategien sowie adaptive Raumzerlegungen einsetzen. Die resultierenden adaptiven Quarklet-Verfahren sollen bei der numerischen Lösung elliptischer Randwertprobleme sowie parabolischer Evolutionsgleichungen in einer Kleinste-Quadrate-Formulierung eines raum-zeitlichen Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung eingesetzt werden. Wir erwarten, dass die Konvergenzanalyse adaptiver Quarklet-Verfahren einige Rückschlüsse auf die Konvergenztheorie adaptiver hp-Finite-Element-Verfahren ermöglicht.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen