Kompaktheit und Zerlegungen in Ergoden- und Operatortheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Balint Farkas
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 451698284

Das Wechselspiel zwischen Operator- und Ergodentheorie ist seit den Anfängen der beiden mathematischen Disziplinen von großer Bedeutung. Dabei haben zwei Konzepte für die beiden Bereiche und ihre starke Verbindung eine grundlegende Rolle gespielt: Zerlegungen und Kompaktheit.Der klassische Mittelergodensatz, inspiriert von der Ergodenhypothese der Thermodynamik, der das Langzeitverhalten von linearen Kontraktionen auf Hilberträumen beschreibt, entspricht der von Neumann-Zerlegung des Hilbertraums. Ferner ist die Gültigkeit des Mittelergodensatzes für lineare Kontraktionen auf Banachräumen mit Basis äquivalent zu der schwachen Kompaktheit der Einheitskugel. Andere Zerlegungen und Kompaktheitseigenschaften können verwendet werden, um zahlreiche weitere „Ergodensätze“ zu beweisen, die durch die Physik oder, überraschenderweise, die Zahlentheorie motiviert sind. Wie in den besagten Fällen sind Zerlegungen oft mit Kompaktheitseigenschaften von Operatorhalbgruppen verbunden. Dabei bilden die sogenannten einhüllenden Halbgruppen ein wichtiges Werkzeug, um aus Kompaktheitseigenschaften geeignete Zerlegungen gewinnen zu können. Sie spielen aber auch eine wichtige Rolle in der Klassifizierung „strukturierter“ dynamischer Systeme.Für eine gegebene Transformation oder einen linearen Operator betrachtet man, unter geeigneten Kompaktheitsbedingungen, die erzeugte zyklische Halbgruppe und ihren Abschluss, für welche die elegante Strukturtheorie der kompakten Halbgruppen eindrucksvolle Resultate liefert, die dann sehr tiefgehende Konsequenzen für dynamische Systeme oder die Operatortheorie haben. Einer der herausragendsten operatortheoretischen Struktursätze ist der von Jacobs-de Leeuw-Glicksberg, welcher schwach kompakte Operatorhalbgruppen in einen strukturierten und einen chaotischen Teil zerlegt. In unserem Projekt planen wir uns auf drei Aspekte zu konzentrieren: Erstens untersuchen wir Kriterien für Kompaktheit. Welche Bedingungen an Banachräume oder Operatoren implizieren Kompaktheitseigenschaften? Wie sind diese mit anderen Konzepten verbunden, etwa Mittelergodizität oder Fastperiodizität im Mittel? Als Zweites möchten wir Kompaktheit und Zerlegungen auf eine „relative“ Situation verallgemeinern: Mithilfe dieser Konzepte entwickeln wir einen systematischen operatortheoretischen Zugang zu Erweiterungen dynamischer Systeme und führen einhüllende „Halbgruppoide“ als verallgemeinerte Version der einhüllenden Halbgruppen ein. Eine echte Darstellungstheorie für diese sollte eine relative Version einer Jacobs-de Leeuw-Glicksberg-Zerlegung für Banachbündel ermöglichen. Drittens und letztens wenden wir bekannte und unsere neuen Resultate an, um konkrete Probleme in der Operatortheorie und zu dynamischen Systemen zu lösen. Insbesondere beabsichtigen wir, nicht-konventionelle Ergodensätze aus operatortheoretischer Sicht zu behandeln, neue Ergodensätze zu beweisen und das periodische Zerlegungsproblem für Funktionen auf Halbgruppen zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen