Diffusion und zufaellige Suche in heterogenen Medien: Theorie und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Ralf Metzler
• Fachliche Zuordnung: Statistische Physik, Nichtlineare Dynamik, Komplexe Systeme, Weiche und fluide Materie, Biologische Physik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 452796171

Eine Vielzahl von Studien aktiver und passiver Teilchendiffusion, z.B.in biologischen Zellen oder ungeordneten und poroesen Medien, zeigt, dass dieStruktur der Umgebung signifikante Effekte auf die Teilchenbewegung hat unddurch eingeschraenkte Bewegung oder lokale Variation der Diffusionskonstantenund Energielandschaft gekennzeichnet ist. Die Entwicklung von verallgemeinertenDiffusionsmodellen, die solche Effekte beinhalten, ist deshalb vonnoeten. Diesfuehrt zu heterogenen Diffusionsmodellen, die die Heterogenitaet der Umgebungdurch raeumlich und/oder zeitlich variierende Diffusionskoeffizientenbeinhalten. Zu relevanten heterogenen Medien gehoeren Materialien mitUnreinheiten, amorphe Medien, fraktale und heterogene Strukturen, Umgebungenmit Crowding, oder gewichtete Graphen. Die hier untersuchten Modelle sinddeshalb fuer eine Vielzahl komplexer Systeme relevant.Optimale Suchstrategien sind zentral in Feldern wie Biologie, Robotik,Physik und Computerwissenschaften. Insbesondere wurden zufaelligeSuchstrategien intensiv erforscht, z.B. in der Suche von Tieren nachspaerlichen Nahrungsquellen, Reaktionswegen von DNA-Bindeproteinen,intrazellulaerem Transport, Suchoperationen in Katastrophenzonen, etc. Diebekannte Debatte ueber Levyfluege von Albatrossen und die Optimalitaet vonLevysuche bedingten eine grosse Anzahl von Studien der Tiermotilitaet undderen Optimierung. Ein juengerer Beitrag zur Debatte optimaler Suchstrategienist dabei das "Rueckstellen", bei dem der Sucher gelegentlich zu seinemAusgangspunkt zurueckgesetzt wird (z.B. dem Bienenstock), und das dieEffizienz von Computeralgorithmen oder Suchprozessen von Tieren erhoeht unddie First-passage Zeit zu einem gegebenen Ziel verringert. ExperimentelleRealisierungen des Rueckstellens sind z.B. durch holographische optischePinzetten bei Kolloidteilchen moeglich. Die Beobachtungen bedingen verbessertetheoretische Modelle zu ihrer Beschreibung, die Heterogenitaet in verschiedenerForm beinhalten, insbesondere auch in Dimensionen groesser als eins. Diesist ein Hauptziel dieses Projekts.Diese Probleme der heterogenenen Diffusionsmodellierung sind eng verknuepftmit inhomogenen Advektions-Diffusions-Dynamiken und turbulenter Diffusion.Weithin werden solche Modelle auch in der Finanzmathematik verwandt, z.B.als geometrische Brownsche Bewegung im Black-Scholes Modell, oder in denCIR und Heston-Modellen. Damit sind unsere Ergebnisse fuer heterogene undturbulente Diffusion auch fuer die Wirtschaftswissenschaften interessant.Dort ist beispielsweise das stochastische Rueckstellen des Markts mitNaturkatastrophen, Epidemien oder Marktcrashs verbunden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Nordmazedonien
• ausländischer Mitantragsteller: Professor Trifce Sandev, Ph.D.