Fundamentalgruppe und Divisorenklassengruppe: Endlichkeit und Zusammenspiel

• Antragsteller: Dr. Lukas Braun
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 452847893

Ziel des Projekts ist die Untersuchung zweier Invarianten von algebraischen Varietäten. Diese beiden Invarianten sind die Fundamental- und die Divisorenklassengruppe. Wir wollen diese insbesondere für zwei Arten von Objekten X untersuchen: schwache Fano Paare und Kawamata log-terminale Singularitäten. Für diese Objekte ist bereits bekannt, dass die Divisorenklassengruppe und der damit direkt in Verbindung stehende Cox-Ring endlich erzeugt sind. Wir konnten ebenfalls zeigen, dass auch eine Iteration der Cox-Ring Konstruktion endlich ist. Diese Konstruktion wird bei der Verknüpfung beider Invarianten eine zentrale Rolle spielen.In einer aktuellen Arbeit konnten wir die Endlichkeit der Fundamentalgruppe des regulären Orts beider Objekte zeigen, was insbesondere eine Vermutung von Kollár bestätigt. Ausgehend von diesen Ergebnissen und der mit der Endlichkeit einhergehenden "Algebraizität" der Konstruktionen ist es das Ziel des Projekts, beide Invarianten zu verknüpfen.Der erste Teil des Projekts liefert die dazu notwendigen Grundlagen. Dazu wollen wir die Cox-Ring Konstruktion auf lokale Ringe und Orbifaltigkeiten ausweiten und bekannte Ergebnisse auf diese Fälle verallgemeinern. Insbesondere erwarten wir ein besseres Verständnis der lokalen Endlichkeit von Cox-Garben. Dieser vorbereitende Teil soll uns insbesondere einen einheitlichen Rahmen für unsere Untersuchungen liefern.Im zweiten Teil wollen wir darauf aufbauend Fundamental- und Divisorenklassengruppe in Beziehung setzen. Das konkrete Ziel ist die Konstruktion eines (fast-)Torsors Z über X mit Faser G. Hierbei soll Z faktoriell und das Urbild des regulären Ortes von X einfach zusammenhängend sein. Die Faser G soll die Fundamental- und die (iterierte) Divisorenklassengruppe vereinigen.Wir beabsichtigen die explizite Konstruktion dieses fast-Torsors für Varietäten mit einer eins-kodimensionalen Toruswirkung. Im allgemeinen Fall erwarten wir Schranken sowohl für die Zahl der Iterationsschritte als auch die Dimension der Faser G, ausgehend von der Jordan-Eigenschaft der Fundamentalgruppe.Im dritten und letzten Teil wollen wir die gewonnenen Erkenntnisse auf höhere Homotopie- und Chow-Gruppen verallgemeinern. Wir erwarten insbesondere eine direkte Beziehung zwischen zweiter Homotopiegruppe und nicht-endlichem Anteil der Divisorenklassengruppe.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle