Überglättende Regularisierungsmodelle im Lichte lokaler Inkorrektheitsphänomene

• Antragsteller: Professor Dr. Bernd Hofmann; Professor Dr. Robert Plato
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 453804957

In den letzten fünfzehn Jahren hat der Begriff der Glattheit in der Theorie der Regularisierung mit dem Ziel der stabilen näherungsweisen Lösung inkorrekter Operatorgleichungen in Hilbert- und Banachräumen substantiell an Bedeutung gewonnen. Für solche Operatorgleichungen, welche inverse Probleme mit Anwendungen in Naturwissenschaften, Technik, Bildverarbeitung und Finanzwesen repräsentieren, ist das Konzept der Glattheit zweideutig. Zum einen ist die Glattheit (Lösungsglattheit) von Elementen in abstrakten Funktionenräumen gemeint, die aus messfehlerbehafteten Daten rekonstruiert werden sollen. Zum anderen geht es um die Glattheit linearer oder nichtlinearer Vorwärtsoperatoren (Operatorglattheit) im Modell. Zwischen beiden Spielarten der Glattheit gibt es ein starkes Wechselspiel. Erfolgreiche Regularisierungszugänge werden vorzugsweise an erwartete Glattheits- und Nichtlinearitätssituationen angepasst. Aber solche Erwartungen können gegebenenfalls nicht der Realität entsprechen, wodurch die Effektivität der Zugänge verloren geht. Ein typisches Beispiel ist die Variationsregularisierung (Tikhonov-Regularisierung) mit überglättenden Penalty-Funktionalen. Dieser Fall tritt auf, wenn das Straffunktional die aktuelle Glattheit überschätzt, wodurch dem Lösungselement kein endlicher Wert des Penalty-Funktionals zugeordnet werden kann. Für überglättende Straffunktionale in Hilbertskalenmodellen wurden in letzter Zeit substantielle Konvergenz- und Ratenresultate unter entscheidender Mitwirkung der beiden Antragsteller und ihrer Koautoren erzielt. Sowohl die Verfeinerung dieser Resultate, als auch ihre Ausdehnung auf Banachraummodelle, sind herausfordernde Ziele dieses Projekts mit seinem Schwerpunkt auf Klassen nichtlinearer inverser Probleme, bei denen der Grad der Inkorrektheit lokalen Charakter besitzt. In diesem Zusammenhang betrachten wir auch spezielle Klassen inverser Probleme wie das Entfaltungsproblem im Zweidimensionalen mit Anwendung in der Bildverarbeitung und spezielle Zugänge wie die datengetriebene Regularisierung als ein Aspekt des maschinellen Lernens, bei welcher fehlende Komponenten des Vowärtsoperators kompensiert werden müssen. Insgesamt soll das Projekt auf der Grundlage von analytischen Techniken, Diskretisierungszugängen und numerischen Experimenten ein tieferes Verständnis von Methoden für die Behandlung überglättender Modelle liefern. Die Möglichkeiten und Grenzen dieser Methoden für die Auswahl optimaler Regularisierungsprozeduren und geeigneter Parameterwahlregeln sollen ausgelotet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: China, Österreich
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Frank Werner
• Kooperationspartner: Professor Shuai Lu, Ph.D.; Professor Dr. Ronny Ramlau