Algebraische Methoden in der Diskreten Geometrie: Ideale von Graphen und Polytopen

• Antragsteller: Dr. Antonio Macchia
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 454595616

Das Hauptziel des Projekts ist es, die vielfältigen Zusammenhänge zwischen Kombinatorik, diskreter Geometrie und kommutativer Algebra zu erforschen und zu untersuchen um zu zeigen, dass es viele tiefe Verbindungen zwischen diesen Bereichen gibt, die es noch zu entdecken und zu ergründen gilt. Wir werden uns auf drei Problemgruppen konzentrieren:1) Der Slack-Realisierungsraum von Polytopen: Dies ist ein neues Modell für den Realisierungsraum von Polytopen, das ein Polytop durch seine Slack-Matrix darstellt, indem seine definierenden Ungleichungen an all seinen Eckpunkten ausgewertet werden und das sich aus einem bestimmten gesättigten Determinantenideal ergibt, welches Slack-Ideal genannt wird. Es gewinnt an Bedeutung und zeigt, dass die kommutative Algebra ein neues wertvolles Berechnungswerkzeug sein kann, um klassische polytopale Fragen zu untersuchen. Durch die Kombination des Slack-Modells mit dem Grassmannschen Modell haben wir ein reduziertes Slack-Modell erhalten, welches es uns ermöglicht, einen kleinen Teil der Slack-Matrix zu betrachten, der die wesentlichen Informationen enthält. Ich werde diesen algebraischen Standpunkt nutzen, um schwierige kombinatorische Probleme wie die Realisierbarkeit kombinatorischer Polytope, die rationale Realisierbarkeit und das nicht mögliche Vorschreiben von Seiten zu untersuchen. Andererseits würde ein tieferes algebraisches Verständnis von Slack-Idealen, wertvolle Informationen über die Struktur und Dimension der damit verbundenen Slack-Sorte liefern. 2) Gitterpolytope: Die Berechnung der Weite von Gitterpolytopen und darüber hinaus das Ermitteln des genauen Werts der Flachheitskonstante Flt(d) sind selbst in sehr kleiner Dimension d schwierige Aufgaben. Ich werde mich auf die Suche nach Gitterpolytopen konzentrieren, deren Weite größer als ihre Dimension ist. In Dimension 3 haben Codenotti und Santos kürzlich eine Untergrenze C für Flt (3) nachgewiesen und ein bestimmtes Tetraeder mit Weite C konstruiert. Später haben wir bewiesen, dass dieses Tetraeder ein lokaler Maximierer für die Weite aller dreidimensionalen Hohlkörper ist. Wir streben eine globale Version dieses Ergebnisses an, die zeigt, dass Flt(3) = C ist. Darüber hinaus möchte ich nach neuen Familien von hohlen Gitterpolytopen und zyklischen Simplizes suchen, deren Weite die Dimension überschreitet.3) Graphen und Binomialideale: Die Untersuchung von Binomialidealen hat viele unterschiedliche Beziehungen zu Graphen: Binomialkantenideale und Ideale orthogonaler Darstellungen von Graphen sind nur zwei bemerkenswerte Beispiele. Ich möchte das Verständnis dieser tiefen kombinatorischen Zusammenhänge vorantreiben, nach einer graphentheoretischen Charakterisierung aller Cohen-Macaulay Binomialkantenideale suchen, die algebraischen Invarianten der Ideale orthogonaler Darstellungen von Graphen untersuchen und die Beziehung zwischen diesen Klassen von binomialen Idealen und Slack-Idealen von Polytopen analysieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen