Effektive Theorien für metrische Gradientenflüsse in der Festkörpermechanik

• Antragsteller: Professor Dr. Manuel Friedrich
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 454756334

Für nichtlineare, dissipative Evolutionsgleichungen stellt sich eine Vielzahl mathematisch anspruchsvoller Fragen, unter anderem über Existenztheorie, die Approximation von Lösungen oder das effektive Verhalten evolutionärer Probleme, die von einem kleinen Parameter abhängen. In diesem Zusammenhang ist der variationelle Zugang zu Gradientenflüssen in Hilberträumen oder in allgemeinen metrischen Räumen von großer Bedeutung, da dadurch effiziente Methoden für Modellierung, Analysis und Simulationen bereitgestellt werden. Das geplante Forschungsprojekt beschäftigt sich mit Gradientenflüssen in der Festkörpermechanik, welche durch ein Zusammenwirken von elastischen Energien und viskosen Dissipationen gekennzeichnet sind. Im ersten Teil widmen wir uns der Herleitung von Existenzresultaten und effektiver Theorien für nichtlineare elastische Energien mit mehreren Phasen sowie für Dissipationen, die eine zeitabhängige Rahmeninvarianz erfüllen. Insbesondere untersuchen wir den Zusammenhang solcher evolutionärer Probleme zu geometrisch linearen Entsprechungen und zu scharfen Grenzschichtmodellen für Phasentransformationen. Der zweite Teil des Projekts beschäftigt sich mit der Herleitung effektiver Modelle für dünne visko-elastische Stäbe und Bänder mittels Dimensionsreduktion.Die Fragestellungen werden mit fortgeschrittenen Methoden der Variationsrechnung behandelt, insbesondere mittels der modernen Theorie für metrische Gradientenflüsse, evolutionärer Gamma-Konvergenz und quantitativer Resultate über geometrische Starrheit. Neben Anwendungen in den Materialwissenschaften wird das geplante Projekt auch die mathematische Theorie weiterentwickeln. Ziel ist es, das Verständnis über Evolutionsgleichungen mit dehnungsabhängigen Dissipationspotentialen zu vertiefen sowie statische Resultate über Multiphasenenergien und Dimensionsreduktion auf Evolutionsmodelle zu übertragen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen