Starrheitsprobleme, Renormalisierung, und kritische Punkte der Multiplikator-Abbildungen

• Antragsteller: Professor Dr. Igors Gorbovickis, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 455038303

Der erste Teil des Projekts beschäftigt sich mit der Renormalisierungstheorie in der eindimensionalen Dynamik und das Starrheitsproblem für hinreichend glatte Kreishomeomorphismen mit einem kritischen Punkt der endlichen Ordnung. Solche Abbildungen heissen kritische Kreisabbildungen.Die Starrheitsfrage im Zusammenhang von Kreiskomeomorphismen geht auf Poincaré zurück, der gezeigt hat, dass jeder Kreishomeomorphismus mit einem irrationalen Drehzahl seim-konjugiert zu einer starren Drehung ist. Im Spezialfall von kritischen Kreisabbildungen hat Yoccoz bewiesen, dass zwei solcher Abbildungen mit gleichen irrationalen Drehzahlen topologisch (sogar quasisymmetrisch) konjugiert sind. Das Starrheitsproblem ist die Frage ob die Konjugation glatt ist.Das Starrheitsproblem wurde schon von vielen Autoren betrachtet. Bisher hat man es für Abbildungen mit kritischen Punkten vom Typ f(x)=x|x|^(α-1) + c mit kritischen Exponent α, eine ungerade Zahl, gelöst. Ein wichtiger Schritt dafür ist der Beweis der Hyperbolizität der Renormalisierung für analytische kritische Kreisabbildungen.Renormalisierung ist seit einiger Zeit ein zentrales Thema in der niedrig dimensionalen Dynamik gewesen. Wesentlich für diese Untersuchungen sind Ideen von D. Sullivan, der die Methoden der holomorphen Dynamik und Teichmüller Theorie angewendet hat. Starrheit wurde schon für kritische Kreisabbildungen mit kritischem Exponent α > 1 empirisch beobachtet, aber seit der grundlegenden Arbeiten von Sullivan sind die wesentlichen Ergebnisse für analytische Kreisabilldungen gewesen. Die Analytizität am kritischen Punkt impliziert die offensichtliche Einschränkung dass α eine ungerade Zahl ist. Zusammenfassend formuliert ist das Hauptziel des ersten Projektteils eine Renormalisierungstheorie für analytische eindimensionale dynamische Systeme mit singularen kritischen Punkten einer beliebigen Ordnung α > 1 zu untersuchen und die verwandten Starrheitsprobleme nachzuforschen. Der Fall von Kreisabbildungen mit mehreren kritischen Punkten wird auch betrachtet.Im zweitem Teil des Projekts fokussieren wir auf Probleme der eindimensionalen holomorphen Dynamik, die mit dem Studium von kritischen Punkten und kritischen Werten der Multiplikatoren von periodischen Bahnen zusammenhängen. Die Multiplikatoren werden als multiwertige algebraische Funktionen auf dem Parameterraum von Polynomen vom Grad d betrachtet. Insbesondere werden wir den Fall d = 2 behandeln, unter anderem mit der Hoffnung die möglichen Gebilde der hyperbolischen Komponente im Mandelbrotmenge besser zu verstehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Kanada, USA
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professorin Tanya Firsova, Ph.D.; Professor Michael Yampolsky, Ph.D.