Physikorientierte Löser für Multi-Netzwerk-Poromechanik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die klassische Biot-Theorie liefert die Grundlage für ein vollständig dynamisches Poroelastizitätsmodell, das die Ausbreitung von elastischen Wellen in flüssigkeitsgesättigten porösen Medien beschreibt. Die Theorie der Multi-Netzwerk-Poroelastizität (MPET) berücksichtigt dabei, dass die elastische Matrix von einem oder mehreren miteinander wechselwirkenden Fluidnetzwerken mit möglicherweise sehr unterschiedlichen Eigenschaften durchdrungen sein kann. Biologische Multikompartiment-Poroelastizitätsmodelle können zur Einbettung spezifischerer medizinischer Modelle verwendet werden, z. B. zur Beschreibung von Flüssigkeitsströmungen und dem Abtransport von Stoffwechselabfallprodukten im zerebralen Umfeld. Der Schwerpunkt dieses Projekts lag auf physikorientierten Lösern für quasistatische und dynamische MPET-Modelle. Unter Lösern sollen hier kombinierte Diskretisierungs- und iterative Lösungsverfahren verstanden werden. „Physikorientiert“ soll bedeuten, dass Formulierungen verwendet werden, die angemessen sind, um die Physik des untersuchten Problems möglichst korrekt zu beschreiben. Des Weiteren wurden Diskretisierungen gewählt, welche die spezielle (differentiell-algebraische) Struktur des Problems erhalten und damit physikalische Gesetzmäßigkeiten wie Energiedissipation sowie Massen- und Impulserhaltung korrekt wiedergeben. Schließlich wurden geeignete iterative Lösungsverfahren entwickelt bzw. so angepasst, dass diese mit dem Diskretisierungsprozess harmonieren, was zu Hochleistungslösern führte. Die Hauptergebnisse des Projekts waren die Entwicklung und Konvergenzanalyse neuer hybridisierter hybrid-gemischter Finite-Elemente-Methoden höherer Ordnung für die quasistatischen MPET-Gleichungen, der Entwurf neuer parameterrobuster Vorkonditionierer für die resultierenden diskreten Probleme sowie Verallgemeinerungen dieser Diskretisierungen auf das Biot-Brinkman- und das dynamische Biot-Problem. Für letztere Problemklasse wurden variationelle Raum-Zeit-Diskretisierungen vorgeschlagen, deren Konvergenzanalyse in Raum und Zeit detailliert ausgeführt wurde, was auf Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung in Raum und Zeit führte. Darüber hinaus wurde eine einfach anwendbare abstrakte Stabilitätsanalyse gestörter Sattelpunktprobleme entwickelt, die eine wichtige Rolle bei Fragen der Wohlgestelltheit, der Konstruktion normaquivalenter Vorkonditionierer sowie parameterrobuster Approximationsresultate für symmetrisch indefinite Probleme liefert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Conservative discretizations and parameter‐robust preconditioners for Biot and multiple‐network flux‐based poroelasticity models. Numerical Linear Algebra with Applications, 26(4).
Hong, Qingguo; Kraus, Johannes; Lymbery, Maria & Philo, Fadi
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Uniformly well-posed hybridized discontinuous Galerkin/hybrid mixed discretizations for Biot’s consolidation model. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 384, 113991.
Kraus, Johannes; Lederer, Philip L.; Lymbery, Maria & Schöberl, Joachim
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A new practical framework for the stability analysis of perturbed saddle-point problems and applications. Mathematics of Computation, 92(340), 607-634.
Hong, Qingguo; Kraus, Johannes; Lymbery, Maria & Philo, Fadi
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C1-conforming variational discretization of the biharmonic wave equation. Computers & Mathematics with Applications, 119, 208-219.
Bause, Markus; Lymbery, Maria & Osthues, Kevin
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Robust Approximation of Generalized Biot-Brinkman Problems. Journal of Scientific Computing, 93(3).
Hong, Qingguo; Kraus, Johannes; Kuchta, Miroslav; Lymbery, Maria; Mardal, Kent-André & Rognes, Marie E.
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Hybridized Discontinuous Galerkin/Hybrid Mixed Methods for a Multiple Network Poroelasticity Model with Application in Biomechanics. SIAM Journal on Scientific Computing, 45(6), B802-B827.
Kraus, Johannes; Lederer, Philip L.; Lymbery, Maria; Osthues, Kevin & Schöberl, Joachim
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A fixed-stress type splitting method for nonlinear poroelasticity.
Kraus, Johannes; Kumar, Kundan; Lymberly, Maria & Radu, Florin Adrian
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Analysis of a family of time-continuous strongly conservative space-time finite element methods for the dynamic Biot model
Kraus, Johannes; Lymbery, Maria; Osthues, Kevin & Philo, Fadi
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Monolithic two-level Schwarz preconditioner for Biot’s consolidation model in two space dimensions
Meggendorfer, Stefan; Kanschat, Guido & Kraus, Johannes
