Von Riemannschen Flächen zu tropischen Kurven (und wieder zurück)

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Ulirsch, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 456557832

Die tropische Geometrie ist die stückweise lineare Geometrie kombinatorischer Degenerationen und Kompaktifizierungen algebraischer und analytischer Varietäten. Ziel dieses Projektes ist es, die Methoden der tropischen Geometrie sowohl in ihren theoretischen Grundlagen, als auch in ihren Anwendungen auf Probleme der algebraischen, arithmetischen und komplexen Geometrie im Fall Riemannscher Flächen signifikant zu erweitern. Das zentrale Meta-Problem dieses Projekts ist das Realisierbarkeitsproblem, das allen Teilprojekten in verschiedenen Formen zugrunde liegt. Besondere Aufmerksamkeit soll den folgenden Themen geschenkt werden:- Ein tropischer Zugang zur Prym-Brill-Noether-Theorie, einer Form der Brill-Noether-Theorie, die natürliche Symmetrien der studierten Riemannschen Fläche miteinbezieht, und dem tropischen Studium von Prym-Varietäten.- Eine Theorie der logarithmischen Linearsysteme, die zwischen der klassischen Theorie der Limit Linear Series und dem dazu orthogonalen tropischen Zugang interpoliert. - Der im Entstehen begriffene Zusammenhang zwischen der Geometrie flacher Flächen und der Geometrie tropischer Kurven. In diesem Projekt wird der Prozess der Tropikalisierung und insbesondere das Realisierbarkeitsproblem mit Techniken aus der nicht-Archimedischen analytischen Geometrie behandelt. Zusätzlich dazu bringt der Antragsteller eine große Erfahrung mit den Methoden der logarithmischen Geometrie im Sinne von Fontaine-Kato-Illusie in dieses Projekt ein, die es uns erlauben die Geometrie tropischer Kurven konsequent aus der Perspektive der Modulräume zu entwickeln.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen