Der äquivariante Spektralfluss und Bifurkation für stark indefinite Funktionale mit Symmetrien

• Antragsteller: Professor Dr. Nils Waterstraat
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 459826435

Es sei eine Familie von Differentialgleichungen gegeben, die von einem reellen Parameter abhängt und deren Gleichungen alle von der konstanten Funktion 0 gelöst werden. In der Bifurkationstheorie beschäftigt man sich mit der Frage der Existenz von Werten des Parameters, bei denen andere Lösungen aus der Nulllösung entstehen. Da die Lösungen von Differentialgleichungen häufig als kritische Punkte eines Funktionals auf einem Hilbertraum gewonnen werden können, spielen Familien von Funktionalen eine wichtige Rolle in der Bifurkationstheorie.Ein bekannter Satz der Bifurkationstheorie besagt, dass bei Funktionalen mit endlichen Morse Indizes ein Parameterwert ein Bifurkationspunkt ist, wenn sich der Morse Index beim Passieren des Parameterwertes ändert. Oft haben die Funktionale der für die Bifurkationstheorie interessanten Differentialgleichungen keinen endlichen Morse Index (z.B. für Hamiltonsche Systeme) und es hat zahlreiche Versuche gegeben geeignete Bifurkationsinvarianten in solchen Fällen zu konstruieren. Einen umfassenden Lösungsvorschlag haben Fitzpatrick, Pejsachowicz und Recht 1999 vorgestellt. Sie zeigten, dass mit dem Spektralfluss eine ganzzahlige Invariante der globalen Analysis der richtige Ersatz für die Morse Indizes ist, falls letztere nicht endlich sind. Ihr Satz umfasst die zuvor bekannten Resultate und hat vielfältige Anwendungen für Differentialgleichungen gefunden.Differentialgleichungen der Naturwissenschaften haben oft Symmetrien die durch die Wirkung einer Lie-Gruppe beschrieben werden können. Solche Symmetrien können Einschränkungen an den Morse Index bedeuten und diesen beispielweise zwingen konstant zu sein. Folglich kann in solchen Fällen Bifurkation nicht mittels des Morse Index nachgewiesen werden. Smoller und Wasserman zeigten in einer vielbeachteten Arbeit in 1990, dass dieses Problem durch Gruppendarstellungen gelöst werden kann. In der jüngeren Vergangenheit wurden erste Schritte gemacht mittels Darstellungstheorie Bifurkationsinvarianten für spezielle Arten von Gleichungen mit Symmetrien zu konstruieren, die keinen endlichen Morse Index haben.Das Ziel dieses Projektes ist der Beweis einer äquivarianten Fassung des Bifurkationssatzes von Fitzpatrick, Pejsachowicz und Recht mit der die Existenz von Bifurkationspunkten selbst dann gezeigt werden kann, wenn der Spektralfluss wegen bestehender Symmetrien seinen Nutzen verliert. Die neue Bifurkationsinvariante ist ein äquivarianter Spektralfluss der ein Element des Darstellungsrings der zu Grunde liegenden Lie-Gruppe ist. Ist die Wirkung der Gruppe trivial, erhalten wir den Satz von Fitzpatrick, Pejsachowicz und Recht. Sind die Morse Indizes endlich, reduziert sich unser Satz zu dem von Smoller und Wasserman. Wir wenden unseren Bifurkationssatz auf Hamiltonsche Systeme und indefinite elliptische Systeme mit Symmetrien an, die mit den bisher bekannten Methoden nicht untersucht werden konnten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen