Der äquivariante Spektralfluss und Bifurkation für stark indefinite Funktionale mit Symmetrien
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Es sei eine Familie von Differentialgleichungen gegeben, die von einem reellen Parameter abhängt und deren Gleichungen alle von der konstanten Funktion 0 gelöst werden. In der Bifurkationstheorie beschäftigt man sich mit der Frage der Existenz von Werten des Parameters, bei denen andere Lösungen aus der Nulllösung entstehen. Da die Lösungen von Differentialgleichungen häufig als kritische Punkte eines Funktionals auf einem Hilbertraum gewonnen werden können, spielen Familien von Funktionalen hier eine wichtige Rolle. Ein bekannter Satz der Bifurkationstheorie besagt, dass bei Funktionalen mit endlichen Morse-Indizes ein Parameterwert ein Bifurkationspunkt ist, wenn sich der Morse-Index beim Passieren des Parameterwertes ändert. Oft haben die Funktionale der für die Bifurkationstheorie interessanten Differentialgleichungen keinen endlichen Morse-Index (z.B. für Hamiltonsche Systeme) und es hat zahlreiche Versuche gegeben, geeignete Bifurkationsinvarianten in solchen Fällen zu konstruieren. Einen umfassenden Lösungsvorschlag haben Fitzpatrick, Pejsachowicz und Recht 1999 vorgestellt. Sie zeigten, dass mit dem Spektralfluss eine ganzzahlige Invariante der globalen Analysis der richtige Ersatz für die Morse-Indizes ist, falls letztere nicht endlich sind. Ihr Satz umfasst die zuvor bekannten Resultate und hat vielfältige Anwendungen für Differentialgleichungen gefunden. Differentialgleichungen der Naturwissenschaften haben oft Symmetrien, die durch die Wirkung einer Lie-Gruppe beschrieben werden können. Solche Symmetrien können Einschränkungen an den Morse-Index bedeuten und diesen beispielsweise zwingen, konstant zu sein. Folglich kann in solchen Fällen Bifurkation nicht mittels des Morse-Index nachgewiesen werden. Smoller und Wasserman zeigten in einer vielbeachteten Arbeit im Jahr 1990, dass dieses Problem durch Gruppendarstellungen gelöst werden kann. In der jüngeren Vergangenheit wurden erste Schritte gemacht, mittels Darstellungstheorie Bifurkationsinvarianten für spezielle Arten von Gleichungen mit Symmetrien zu konstruieren, die keinen endlichen Morse-Index haben. In diesem Projekt wurde eine äquivariante Fassung des Bifurkationssatzes von Fitzpatrick, Pejsachowicz und Recht bewiesen, mit der die Existenz von Bifurkationspunkten selbst dann gezeigt werden kann, wenn der Spektralfluss wegen bestehender Symmetrien seinen Nutzen verliert. Die neue Bifurkationsinvariante ist ein äquivarianter Spektralfluss, der ein Element des Darstellungsrings der zugrunde liegenden Lie-Gruppe ist. Ist die Wirkung der Gruppe trivial, erhalten wir den Satz von Fitzpatrick, Pejsachowicz und Recht. Sind die Morse-Indizes endlich, reduziert sich unser Satz auf den von Smoller und Wasserman. Wir haben unseren Bifurkationssatz auf Hamiltonsche Systeme und indefinite elliptische Systeme mit Symmetrien angewandt, die mit den bisher bekannten Methoden nicht untersucht werden konnten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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The equivariant spectral flow and bifurcation of periodic solutions of Hamiltonian systems. Nonlinear Analysis, 211, 112475.
Izydorek, Marek; Janczewska, Joanna & Waterstraat, Nils
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The relative cup-length in local Morse cohomology. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 1-15.
Rot, Thomas; Starostka, Maciej & Waterstraat, Nils
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Bifurcation for a Class of Indefinite Elliptic Systems by Comparison Theory for the Spectral Flow via an Index Theorem. Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA, 32(6).
Janczewska, Joanna; Möckel, Melanie & Waterstraat, Nils
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The equivariant spectral flow and bifurcation for functionals with symmetries: part I. Mathematische Annalen, 393(2), 2187-2226.
Izydorek, Marek; Janczewska, Joanna; Starostka, Maciej & Waterstraat, Nils
