Kombinatorik in endlichen klassischen Gruppen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Margit Rösler, seit 10/2023
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 459964179

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Resultate dieses Projekts liefern Beiträge zur extremalen und algebraischen Kombinatorik. Leitmotiv war es, kombinatorische Fragestellungen und bekannte Sachverhalte über endliche Mengen auf endliche Vektorräume zu übertragen. Dies führt in natürlicher Weise zu Kombinatorik auf der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,q) über einem endlichen Körper der Ordnung q, die auf einem endlichen Vektorraum wirkt. In der Kombinatorik von Mengen spielen die symmetrische Gruppe, ein zugehöriges Assoziationsschema und die Darstellungstheorie der Gruppe eine wichtige Rolle. Im Kontext der GL(n,q) haben sich im Projekt ebenfalls ihr Assoziationsschema und ihre Charaktertheorie als sehr nützlich erwiesen. Und in der Tat ist die Charaktertheorie der GL(n,q) mit derjenigen der symmetrischen Gruppe verwandt, wenn auch deutlich komplizierter. Ein erster Teil des Projekts widmet sich Schnittsätzen für die GL(n,q) im Sinne des klassischen Erdös-Ko-Rado-Theorems (1961). Dieses beantwortet die Fragen, wie groß eine Familie von sich paarweise schneidenden Teilmengen der Größe k innerhalb einer gegebenen Menge von n Elementen sein kann, und wie die sich schneidenden Familien maximaler Größe aussehen. Im Fall der GL(n,q) bedeutet der Begriff des Sich-Schneidens die Koinzidenz auf Teilmengen oder Unterräumen des zugrundeliegenden Vektorraums. Im Projekt wurden optimale obere Schranken für verschiedene Varianten sich schneidender Mengen gefunden, und es gelang, eine Charakterisierung sich schneidender Mengen maximaler Grösse zu geben. Die erzielten Ergebnisse stehen weitgehend in Analogie zu Ergebnissen von Ellis, Friedgut und Pilpel (2011) für die symmetrische Gruppe, die durch Permutationen auf einer endlichen Menge wirkt. Ein zweiter Teil des Projekts war der Transitivität von Teilmengen der GL(n,q) gewidmet. Hier ist der klassische Hintergrund eine Arbeit von Livingstone und Wagner (1965), die Transitivitätsfragen für Untergruppen der symmetrischen Gruppe untersucht. Es gibt dazu interessante Verallgemeinerungen von Martin und Sagan (2006), die sich mit Teilmengen der symmetrischen Gruppe anstelle von Untergruppen befassen und ihre Wirkung auf Mengenpartitionen betrachten. In Analogie dazu wird in diesem Projekt die Wirkung von Teilmengen der GL(n,q) auf fahnenartigen Strukturen betrachtet, welche aus Unterräumen des zugrundeliegenden Vektorraums gebildet werden. Mit Methoden aus der Theorie der Assoziationsschemata wird gezeigt, dass solche transitiven Mengen T-Designs (im Sinne von Delsarte) im Assoziationsschema der GL(n,q) sind. Dies verallgemeinert ein gruppentheoretisches Ergebnis von Perin (1972) über Untergruppen der GL(n,q), die transitiv auf Unterräumen über endlichen Körpern wirken.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Intersection theorems for finite general linear groups. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 175(1), 129-160.
  ERNST, ALENA & SCHMIDT, KAI–UWE
  
• Subsets of finite general linear groups. Dissertation, Paderborn University, December 2024. 146 pages.
  A. Ernst
  
• Transitivity in finite general linear groups. Mathematische Zeitschrift, 307(3).
  Ernst, Alena & Schmidt, Kai-Uwe