Formulierung und numerische Berechnung des niederfrequenten Grundstroms von Fluiden
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das oszillatorische Verhalten von partiellen Differentialgleichungen, die die Dynamik in der Atmosphäre und den Ozeanen beschreiben, ist eine Herausforderung für das Verständnis der zugrundeliegenden Physik und das Design von effizienten numerischen Verfahren. Die zu betrachtenden Probleme nehmen die folgende Form an: du/dt + 1/ε Lu + N (u) = 0. Dabei ist ε ein kleiner Parameter, L ein schiefhermitischer linearer Operator, der für das oszillatorische Verhalten des Problems verantwortlich ist, und N ein nicht-linearer Term. Die schnellen Oszillationen haben zwei wichtige Konsequenzen. Erstens, je schneller die Oszillationen sind, umso kleiner ist der benötigte Zeitschritt beim numerischen Verfahren. Zweitens, diese schnellen Oszillationen sind auch verantwortlich für die Bildung des niederfrequenten Grundstroms, die in der Theorie über resonante und fast resonante Wechselwirkungen behandelt wird. Die Thematik des Projekts umfasste den niederfrequenten Grundstrom von Fluiden, der ein zeitlich gemittelter Gundstrom ist und das Verhalten des Fluids auf langsamen Zeitskalen repräsentiert. Für die Untersuchungen wurden die rotierenden Flachwassergleichungen (RSWE) und die Boussinesq Gleichungen verwendet, neben Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, die als einfachere Prototypbeispiele nützlich waren, und auch die Flachwassergleichungen mit Bathymetrie. Als wichtigste Ergebnisse können angeführt werden: 1) Es wurden neue Formulierungen des Grundstroms entwickelt und untersucht. Dabei wurde eine Transformation verwendet, deren Idee mit der method of cancellation of oscillations verbunden ist, sowie analytische Mittelungsverfahren. 2) Die entwickelten Formulierungen für den Grundstrom wurden verwendet, um neue Zeitintegratoren vom Prediktor-Korrektor-Typ für oszillatorische Differentialgleichungen zu entwickeln. Für die Zeitintegratoren wurde ein Mehrgitter-Ansatz verwendet. Außerdem sind die Zeitintegratoren parallelisierbar und deshalb vielversprechend für Computer mit großer Parallelität. Eine wichtige Eigenschaft der neuen Formulierungen besteht darin, dass sie sowohl die resonanten als auch die fast resonanten Oszillationen, die durch die Nichtlinearität entstehen, berücksichtigen. Insbesondere kann man bei der neuen Herangehensweise einstellen, welche Moden langsam genug sind, um Teil des Grundstroms zu sein. Dazu wurden Untersuchungen mit den Boussinesq Gleichungen durchgeführt. Die Formulierungen sind für die numerischen Zeitschrittverfahren von Nutzen, insbesondere für einen guten Prediktor-Schritt. Bei der Entwicklung des Zeitschrittverfahrens wurden folgende Punkte abgearbeitet: rekursive Formulierung des Mehrgitterverfahrens, das das Parareele Verfahren mit Mittelungsverfahren und der Transformation kombiniert; die Herleitung einer Fehlerschranke und eines Modells für den Rechenaufwand, das die Parallelität des Verfahrens berücksichtigt; Implementierung von numerischen Beispielen. Dabei wurden ermutigende Untersuchungen hinsichtlich der Effizienz der Mehrgitterverfahren durchgeführt, insbesondere für die rotierenden Flachwassergleichungen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Juliane-Rosemeier/Multi-level-Parareal-Examples: ODE examples solved with the Multi-level Parareal method.
Juliane Rosemeier
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Mean Flow from Phase Averages in the 2D Boussinesq Equations. Atmosphere, 14(10), 1523.
Wingate, Beth A.; Rosemeier, Juliane & Haut, Terry
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Multilevel Parareal Algorithm with Averaging for Oscillatory Problems. SIAM Journal on Scientific Computing, 46(4), A2709-A2736.
Rosemeier, Juliane; Haut, Terry & Wingate, Beth
