Scharfe a priori Konvergenzabschätzungen für Krylovraum-basierte Eigenlöser

• Antragsteller: Professor Dr. Klaus Neymeyr
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2021 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 463329614

Eigenwertprobleme elliptischer und selbstadjungierter Differentialoperatoren treten in zahlreichen naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf. Ihre numerische Lösung gelingt etwa mittels adaptiver Finite-Elemente-Diskretisierung und iterativer Berechnung der gewünschten Eigenpaare der diskretisierten Operatoren. Unterraumiterationen sind schnelle Lösungsverfahren für die hochdimensionalen Matrixeigenwertprobleme und sind erheblich effizienter als klassische Diagonalisierungsverfahren. Viele populäre Unterraumiterationen arbeiten in Krylovräumen und gelten als verbesserte Varianten des fast 70 Jahre alten Lanczos-Verfahrens. Zu den wesentlichen Techniken zählen Neustarts, die blockweise Durchführung und die Vorkonditionierung. Mit der aktiven Entwicklung von neuen Verfahrensvarianten konnte die zugehörige Konvergenztheorie nur in begrenztem Maße Schritt halten. Zudem besitzen viele Konvergenzabschätzungen einen a posteriori Charakter, das heißt sie schätzen durch komplizierte Schranken, die von den berechneten (oder zu berechnenden) Ritzwerten abhängen, den Konvergenzverlauf ab.Das beantragte Projekt behandelt neue Ansätze für die Konvergenzanalyse Krylovraum-basierter Unterraumiterationen für reelle und symmetrische Matrixeigenwertprobleme. Es werden zunächst vier grundlegende Iterationsverfahren untersucht: Standard-Krylovraum-Iterationen, neugestartete Krylovraum-Iterationen, Block-Krylovraum-Iterationen sowie neugestartete Block-Krylovraum-Iterationen. Die resultierenden Abschätzungen sollen ein verbessertes Verständnis des Konvergenzverhaltens dieser Unterraumiterationen erzielen und auf verwandte vorkonditionierte Verfahren erweitert werden können. Ein Schwerpunkt liegt auf a priori Abschätzungen, welche von eher schwachen Voraussetzungen ausgehen und weniger komplexe Schranken besitzen. Probabilistische Techniken, welche ein hohes Potential für die Herleitung realistischer Konvergenzraten besitzen, werden mit geometrischen Interpretationen der Rayleigh-Quotienten-Niveaumengen und der Vorkonditionierung kombiniert. Neue adaptive Steuerungstechniken für die Blockzahl und Blockgröße lassen einen Effizienzgewinn erwarten, der für Anwendungsprobleme wie die Selbstkonsistenziterationen der quantenmechanischen Dichtefunktionaltheorie nachgewiesen werden soll.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen