Algebraische Struktur, Störungstheorie und Galois-coaction für exakt lösbare Quantenfeldtheorien

• Antragsteller: Dr. Alexander Hock
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 465029630

Eine neue Klasse von exakt lösbaren Quantenfeldtheorien (QFT), die aus Matrixmodellen entspringt, wird auf mathematische Eigenschaften untersucht. Diese Art von integrablen Modellen basiert auf einer universellen algebraischen Struktur, der Topologischen Rekursion. Wir finden störungstheoretisch dieselben Probleme wie in der üblichen QFT, dazu gehören die faktoriell anwachsende Zahl an Feynman-Graphen sowie auch das Renormalon-Problem. Dennoch ist die Störungstheorie bestehend aus iterierten Integralen aufsummierbar. Die exakten Lösungen des $\phi^4$-Matrixmodells sind aus implizit definierten Funktionen aufgebaut, welche sich auf dem nichtkommutativen Moyal-Raum (in 2 oder 4 Dimensionen) explizit lösen lassen. Die tiefe Struktur der Störungstheorie wird in einer Weise analysiert, welche die Konstruktion der Hopf-Algebra der Renormierung erlaubt. Weiterhin werden die exakten Resultate mit der Störungstheorie verglichen, hierfür wird die 2005 entwickelte Galois-coaction (GC) auf iterierte Integrale angewandt (eine Erweiterung der Wirkung der Galois-Gruppe auf $\bar{\mathbb{Q}}$). Dazu wird die Transzendenz-Vermutung von Grothendieck angenommen, was bedeutet, dass die GC der motivischen iterierten Integrale und der motivischen Perioden auf die üblichen iterierten Integrale und Perioden im gleichen Sinne wirkt. Die GC kann eine Vielzahl an Galois-Konjugierten erzeugen. Es wird vermutet und in ersten Ordungen störungtheortisch verifiziert, dass eine QFT geschlossen unter der GC ist. In anderen Worten sind alle Galois-Konjugierten einer Feynman-Amplitude Linearkombinationen anderer Feynman-Amplituden. Dies gibt eine sehr starke und tief mathematische Bedingung an eine QFT und an das Vorkommen ihrer Feynman-Amplituden sowie an die Kombinatorik der Feynman-Graphen. Diese GC soll zum ersten Mal auf ein exakt lösbare QFT angewandt werden. Hierbei kann die Frage beantwortet werden, ob eine QFT geschlossen unter der GC ist. Das Vorliegen exakter Resultate für die Korrelationsfunktionen ist dazu unerlässlich; störungstheoretisch kann dies nie bewiesen werden! Die kürzlich (2019) mittels getwisteter Kohomologie entwickelte Erweiterung der GC auf hypergeometrische Funktionen und weitere spezielle Funktionen wird dabei eine zentrale Rolle spielen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Dr. Erik Panzer