Produkte von Zufallsmatrizen, nichtkommutative Verzweigende Irrfahrten und Multityp-Verzweigende Irrfahrten in zufälligen Umgebungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Produkte von Zufallsmatrizen, d.h. Produkte Πn := An · · · A1 unabhängiger, identisch verteilter Matrizen A1 , A2 , . . . mit zufälligen reellwertigen Einträgen (und fester Dimension), treten als fundamentale Objekte bei der Analyse einer Vielzahl stochastischer Modelle auf und sind ein wichtiges Beispiel für multiplikative Irrfahrten auf nichtkommutativen (Halb-) Gruppen. Seit dem Beweis eines starken Gesetzes der großen Zahlen für log ∥Πn ∥ durch Furstenberg und Kesten (1960) wird aktiv auf diesem Gebiet geforscht. Ziel des Projektes war die wechselseitige Beförderung von Grundlagenforschung und Anwendung. Zum einen wurden Resultate über Produkte von Zufallsmatrizen zum Studium von Modellen der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie genutzt werden, insbesondere zur Analyse von Verzweigungsprozessen. Im Projekt wurde der folgende Verzweigungsprozess betrachtet: Teilchen verzweigen und bewegen sich im Rd . Befindet sich das Elternteilchen an einer Position x, so werden Positionen der Nachfahren durch Multiplikation von x mit Zufallsmatrizen bestimmt. Untersucht wurde der kleinste und größte Abstand von Teilchen zum Ursprung, und es wurden Konvergenzresultate bspw. für das sog. derivative martingale hergeleitet, welches den Term dritter Ordnung im asymptotischen Verhalten der extremalen Teilchen bestimmt. Zum anderen hat das Studium dieser und weiterer Modelle, wie multivariate Finanzzeitreihen und deep learning-Algorithmen, neue Forschungsfragen in der Theorie von Produkten von Zufallsmatrizen aufgeworfen, die ebenfalls im Projekt behandelt wurden. Insbesondere wurden verfeinerte Grenzwertsätze wie präzise große Abweichungen und Berry-Esseen Schätzungen für die Einträge Πi,jn bewiesen. Für Produkte von positiven Zufallsmatrizen haben wir eine approximative Version des Dualitätslemma bewiesen, welches erstmals erlaubt, die Erneuerungsfunktion im zentrierten Fall (1/n log ∥Πn ∥ → 0 f.s.) quantitativ zu bestimmen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
-
Berry-Esseen bounds and moderate deviations for the norm, entries and spectral radius of products of positive random matrices. Science China Mathematics, 67(3), 627-646.
Xiao, Hui; Grama, Ion & Liu, Quansheng
-
Conditioned limit theorems for hyperbolic dynamical systems. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 44(1), 50-117.
GRAMA, ION; QUINT, JEAN-FRANÇOIS & XIAO, HUI
-
Large deviation expansions for the coefficients of random walks on the general linear group. The Annals of Probability, 51(4).
Xiao, Hui; Grama, Ion & Liu, Quansheng
-
Limit theorems for first passage times of multivariate perpetuity sequences
Mentemeier S. & Xiao H.
-
Analysing heavy-tail properties of Stochastic Gradient Descent by means of Stochastic Recurrence Equations.
Damek, E. & Mentemeier, S.
-
The extremal position of a branching random walk on the general linear group. Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, 61(4).
Grama, Ion; Mentemeier, Sebastian & Xiao, Hui
