Hilberträume mit reproduzierendem Kern und Dilatationstheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Hartz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 466012782

Operatortheorie und komplexe Analysis sind Zweige der mathematischen Analysis, die sich seit langer Zeit gegenseitig befruchten. Dabei hat jedes Fach wichtige Einblicke in das jeweils andere geliefert. Das Forschungsvorhaben behandelt Fragen an der Schnittstelle dieser beiden Gebiete und greift dabei zusätzlich auf Operatoralgebren und harmonische Analysis zurück. Insbesondere geht es in dem Forschungsvorhaben um Probleme über Hilberträume mit reproduzierendem Kern und Dilatationstheorie. Im Bereich der Hilberträume mit reproduzierendem Kern liegt der Schwerpunkt auf Hilberträumen von holomorphen Funktionen, insbesondere vollständige Pick-Räume. Das grundlegende Ziel der Dilatationstheorie ist es, einen Operator auf einem Hilbertraum als Teil eines besser verstandenen Operators auf einem größeren Hilbertraums darzustellen. Das Forschungsprogramm befasst sich mit mehreren konkreten Problemen, die sowohl für Hilberträume mit reproduzierendem Kern als auch für Dilatationstheorie relevant sind.Der am besten verstandene vollständige Pick-Raum ist der Hardy-Raum; die langfristige Vision ist, die Theorie der vollständigen Pick-Räume auf ein ähnlich hohes Niveau zu bringen. Ein zentrales Ziel des Antrags ist es, einen Beitrag zu dieser langfristigen Vision zu leisten. Man erwartet, dass dies zu Einsichten in klassische Räume wie den Dirichlet-Raum oder den Drury-Arveson-Raum führt. Letzterer ist auch unter dem Namen bosonischer Fock-Raum bekannt. Mit Hilfe von Werkzeugen aus einer Reihe von Gebieten, die seit kurzem verfügbar sind, wie die nicht-kommutative Funktionentheorie, Operatorraumtechniken und Realisierungsformeln, wird die Projektgruppe mehrere Probleme angehen, von denen sich einige als resistent gegenüber klassischen Ansätzen erwiesen haben. Dazu gehören interpolierende Folgen, Zyklizitätsfragen und die Gültigkeit der von Neumannschen Ungleichung für kommutierende Kontraktionen bis auf eine Konstante.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen