Wesentliche Erweiterung und Vereinheitlichung der Theorie von Patankar-Typ-Verfahren durch einheitliche Ordnungsanalyse, erstmalige Untersuchung der Stabilität, Zeitschrittweitenadaption und Dense-Output-Formeln
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Um reale Phänomene wie pandemische Situationen, chemische Reaktionen oder Strömungen von Luft und Wasser zu beschreiben, werden in der mathematischen Modellierung gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen hergeleitet. Da eine analytische Lösung dieser Gleichungen meist nicht möglich ist, kommen numerische Verfahren zum Einsatz, um die Lösungsfunktion zu approximieren. Angesichts der Modellannahmen und der Fehler in den Messdaten ist eine exakte Abbildung der Realität ohnehin nicht zu erwarten. Ziel der numerischen Methode ist es stattdessen, möglichst viele physikalische Eigenschaften des zugrunde liegenden Prozesses beizubehalten und dabei Approximationen innerhalb der Messgenauigkeit zu liefern. Wichtige physikalische Eigenschaften sind zum Beispiel die Massen- oder Energieerhaltung sowie die Positivität bestimmter Lösungskomponenten. Beispielsweise wäre ein numerisches Modell für Meeresströmungen ohne die Massenerhaltung irreführend, ebenso wie eine Approximation der Wasserhöhe, die negative Werte annimmt. Diese Eigenschaften – Konservativität und Positivität – sind nicht nur physikalisch relevant, sondern auch für die numerische Berechnung essenziell. Negative Approximationen bei positiven Systemen können zu falschen Ergebnissen oder sogar zum Abbruch des Verfahrens führen. Zudem kann die Nichtbeachtung der Konservativität zu falschen Gleichgewichtszuständen führen. Patankar-Typ-Verfahren bilden eine Familie von numerischen Methoden, die unbedingt positivitätserhaltend und konservativ sind. Zum Zeitpunkt des Projektbeginns gab es bereits derartige Verfahren dritter Ordnung, allerdings waren die Ordnungsbedingungen das Ergebnis aufwendiger und technischer Berechnungen. Außerdem basierten die Stabilitätsanalysen dieser Methoden bisher ausschließlich auf numerischen Experimenten. Ziel des Projekts war es, die Ordnungsanalyse zu vereinheitlichen, eine theoretische Grundlage für die Stabilität dieser Verfahren zu entwickeln und ihre Effizienz zu steigern. Ein Durchbruch in diesem Projekt war die Verallgemeinerung der Theorie der farbigen Butcher- Bäume, um Bedingungen für Patankar-Typ-Verfahren beliebig hoher Ordnung herzuleiten. Außerdem konnte mithilfe der Theorie dynamischer Systeme ein Theorem bewiesen werden, das die bestehende Stabilitätsanalyse erweitert und auch auf nichtlineare Verfahren wie die Patankar-Typ-Methoden anwendbar ist. Insbesondere wurden diese Methoden erstmals analytisch hinsichtlich ihrer Stabilität untersucht. Weitere Ergebnisse des Projekts betreffen die Effizienz der Methoden. Eine neue Prozedur zur Optimierung der Zeitschrittweitensteuerung für Verfahren mit eingebetteter Methode und guten Stabilitätseigenschaften wurde vorgestellt und auf modifizierte Patankar-Runge-Kutta-Verfahren bis zur Ordnung drei angewandt. Diese Verfahren wurden darüber hinaus mit einer Dense-Output-Formel ausgestattet, die mit geringem zusätzlichen Aufwand Approximationen gleicher Genauigkeit für beliebige Zwischenzeitpunkte liefert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Recent Developments in the Field of Modified Patankar‐Runge‐Kutta‐methods. PAMM, 21(1).
Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan & Meister, Andreas
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Lyapunov Stability of third order SSPMPRK schemes (code).
J. Huang, T. Izgin, S. Kopecz, A. Meister & C.-W. Shu
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Modified Patankar: Oscillations and Lyapunov Stability (code).
Thomas Izgin, Philipp Öffner & Davide Torlo
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On Lyapunov stability of positive and conservative time integrators and application to second order modified Patankar–Runge–Kutta schemes. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 56(3), 1053-1080.
Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan & Meister, Andreas
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On the Stability of Unconditionally Positive and Linear Invariants Preserving Time Integration Schemes. SIAM Journal on Numerical Analysis, 60(6), 3029-3051.
Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan & Meister, Andreas
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A Stability Analysis of Modified Patankar–Runge–Kutta methods for a nonlinear Production–Destruction System. PAMM, 22(1).
Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan & Meister, Andreas
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A study of the local dynamics of modified Patankar DeC and higher order modified Patankar–RK methods. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 57(4), 2319-2348.
Izgin, Thomas & Öffner, Philipp
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A study of the local dynamics of MPDeC and higher order MPRK methods (code).
Thomas Izgin & Philipp Öffner
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On the dynamics of first and second order GeCo and gBBKS schemes. Applied Numerical Mathematics, 193, 43-66.
Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan; Martiradonna, Angela & Meister, Andreas
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On the stability of strong-stability-preserving modified Patankar–Runge–Kutta schemes. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 57(2), 1063-1086.
Huang, Juntao; Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan; Meister, Andreas & Shu, Chi-Wang
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Order conditions for NSARK methods (code).
Thomas Izgin, David I. Ketcheson & Andreas Meister
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Using bayesian optimization to design time step size controllers with application to modified patankar–runge–kutta methods.
Thomas Izgin & Hendrik Ranocha
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A Necessary Condition for Non-Oscillatory and Positivity Preserving Time-Integration Schemes. SEMA SIMAI Springer Series, 121-131. Springer Nature Switzerland.
Izgin, Thomas; Öffner, Philipp & Torlo, Davide
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A Unifying Theory for Runge–Kutta-like Time Integrators: Convergence and Stability. PhD thesis, Kassel, Universität Kassel, Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften, Institut für Mathematik
Thomas Izgin
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On the non-global linear stability and spurious fixed points of MPRK schemes with negative RK parameters. Numerical Algorithms, 96(3), 1221-1242.
Izgin, Thomas; Kopecz, Stefan; Meister, Andreas & Schilling, Amandine
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A Boot-Strapping Technique to Design Unconditionally Positive Dense Output Formulae for Modified Patankar-Runge-Kutta Methods. Communications on Applied Mathematics and Computation.
Izgin, Thomas
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Order conditions for Runge–Kutta-like methods with solution-dependent coefficients. Communications in Applied Mathematics and Computational Science, 20(1), 29-66.
Izgin, Thomas; Ketcheson, David I. & Meister, Andreas
