Höhere Geometrie und Feldtheorien

• Antragsteller: Dr. Severin Bunk
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 468806966

Das übergreifende Ziel dieses Projektes ist die Erforschung der Beziehung von Feldtheorien und Geometrie. Bisher existieren zwei Bordismus-basierte Begriffe von Feldtheorie: topologische Quantenfeldtheorien (TQFTs) nach Atiyah-Segal, und glatte funktorielle Feldtheorien (FFTs) nach Stolz-Teichner. Grob gesagt sind TQFTs Darstellungen von Bordismusrelationen zwischen Mannigfaltigkeiten in symmetrisch monoidalen Kategorien. Glatte FFTs betrachten zusätzlich glatte Familien von Objekten und Morphismen in der Ausgangs- und Zielkategorie. Dies verleiht ihnen eine stark geometrische Natur.TQFTs beschreiben tiefe Beziehungen zwischen der Topologie von Mannigfaltigkeiten und Algebra: TQFTs sind im Allgemeinen durch (höhere) algebraische Strukturen in der Zielkategorie klassifiziert. Das stärkste Resultat dieser Art ist die Kobordismushypothese: Sie besagt, dass vollständig erweiterte (gerahmte) TQFTs durch ihren Wert auf dem Punkt vollständig klassifiziert sind, wobei dieser Wert jedes vollständig dualisierbare Objekt der Zielkategorie sein kann.Das ursprüngliche Ziel Stolz-Teichners war die Beschreibung der elliptischen Kohomologie einer Mannigfaltigkeit M als Konkordanzklassen glatter FFTs auf M, also FFTs, in denen Objekte und Bordismen mit glatten Abbildungen nach M dekoriert sind. Dies ist nach wie vor ein aktives, offenes Problem. Im Kontrast dazu werde ich hier glatte FFTs bis auf Isomorphismus studieren: Während TQFTs durch höhere algebraische Daten klassifiziert sind, vermute ich, dass glatte FFTs auf M durch höhere geometrische Strukturen auf M klassifiziert sind.Bisher wurden TQFTs und glatte FFTs größtenteils separat untersucht. Das erste Ziel dieses Projektes ist es, detailliert zu beschreiben, wie glatte FFTs TQFTs reproduzieren, und dadurch gleichzeitig die zugehörigen mathematischen Expertengruppen zu verbinden. Außerdem werde ich zeigen, wie das Studium glatter FFTs, in welchen Mannigfaltigkeiten und Bordismen zusätzliche geometrischen Strukturen tragen, stets auf glatte FFTs ohne solche zusätzlichen Daten reduziert werden kann. Dies ermöglicht die Anwendung von Werkzeugen für TQFTs auf glatte FFTs.Das zweite Ziel ist ein konkretes Klassifikationsresultat für vollständig erweiterte glatte FFTs. Erste Ergebnisse, die glatte FFTs und geometrische Strukturen in Bezug setzen, wurden kürzlich bewiesen, allerdings lediglich für nicht-erweiterte ein- und zwei-dimensionale FFTs. Hier werde ich neue Methoden der höheren Geometrie entwickeln, welche zu einer ersten allgemeinen Klassifikation vollständig erweiterter glatter FFTs mittels Geometrie und Differenzialkohomologie führen werden.TQFTs und die Kobordismushypothese haben ein ganzes Spektrum an Forschung in Topologie und Algebra inspiriert. Ich bin überzeugt, dass glatte FFTs ein vergleichbares Potenzial haben, neue Forschungsrichtungen an der Schnittstelle von Topologie und Geometrie anzustoßen. Dieses Projekt stellt einen ersten großen Schritt dar, dieses Potenzial auszuschöpfen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. André Henriques