Neue Entwicklungen in der Theorie der Moduli dekorierter Garben

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Schmitt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 471183228

Modulräume sind von fundamentaler Bedeutung in der algebraischen Geometrie. Sie lösen vielfältige Klassifikationsprobleme. Dabei bilden "dekorierte" Prnzipalbündel eine interessante Klasse von Beispielen. Dies sind Prinzipalbündel, die mit einer geeigneten Zusatzstruktur, z.B. einem Schnitt in einem assoziierten Vektorbündel, versehen sind. Zu den Beispielen gehören Higgs-Bündel, holomorphe Tripel und kohärente Systeme. Die von Mumford auf der Basis fundamentaler Entdeckungen Hilberts entwickelte geometrische Invariantentheorie ist ein erfolgreiches Werkzeug für die Konstruktion von Modulräumen. Verschiedene moderne Klassifikationsprobleme wie diejenigen, die Bridgeland-semistabile Objekte in triangulierten Kategorien betreffen, sind nicht für den Zugang über die geometrische Invariantentheorie geeignet.Das Projekt behandelt zwei verwandte Klassifikationsprobleme für dekorierte Prinzipalbündel, die interessante neue Phänomene aufweisen oder deren Lösung neue Techniken erfordert. Das erste dreht sich um kohärente Systeme für dekorierte Prinzipalbündel. Dieses erst kürzlich entstandene Konzept hat mögliche Anwendungen auf das Studium der Geometrie von Modulräumen von Higgs-Bündeln und die Brill-Noether-Theorie von Vektorbündeln. Obwohl man das Klassifikationsproblem in ein klassisches Quotientenproblem der geometrischen Invariantentheorie übersetzen kann, treten unerwartete Einschränkungen auf, deren Untersuchung von verschiedenen Blickwinkeln aus lohnenswert erscheint. Das zweite Problem betrifft Modulräume Bridgeland-semistabiler Objekte in derivierten Kategorien von Köchergarben. Genauer werden holomorphe Ketten auf Kurven und Flächen betrachtet. Raffinierte neue Techniken kommen hier bei der Konstruktion der Modulräume zum Einsatz. Diese Arbeit wird auch das Bild von den "klassischen" Modulräumen vervollständigen.Schließlich werden auch wichtige Hilfsmittel für die Untersuchung der Geometrie der Modulräume, z.B. Hitchin-Abbildungen und das Durchqueren von Wänden, studiert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Italien
• Kooperationspartnerin: Dr. Alejandra Rincón Hidalgo