Semiparametrische Modellierung heteroskedastischer Zeitreihen mit fraktionellen LARCH-Prozessen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt wurden statistische Methoden für Zeitreihen mit bedingter Heteroskedastizität und langfristigen Abhängigkeiten in den Volatilitäten imtersucht. Der Schwerpunkt lag auf approximativer Maximum-Likelihood Schätzung für fraktionelle LARCH-Prozesse. Aufgrund von theoretischen und numerischen Schwierigkeiten wurde eine modifizierte Version des üblichen Schätzers eingeführt und Konsistenz imd asymptotische Normalität gezeigt. Die Beweise unterscheiden sich grundlegend von den Methoden für ähnliche Modelle wie ARCH(oo). Der Grund dafür liegt hauptsächlich in der Tatsache, dass die Volatilität eines LARCH-Prozesses beliebig klein werden kann. Ferner führen die langfristigen Abhängigkeiten zu weiteren Schwierigkeiten, wie etwa einer langsameren Konvergenzrate. Parallel zu dieser Untersuchung wurde Lokationsschätzung für verschiedene Volatilitätsmodelle mit langfristigen Abhängigkeiten analysiert. Insbesondere wurden LARCH-Prozesse, Produkte von linearen Prozessen, die eine Appell-Expansion zulassen, Produkte von normal verteilten Prozessen, die eine Hermite-Expansion zulassen und Erweiterungen für lokal polynomiale Regression bei LARCH-Prozessen betrachtet. Es stellte sich heraus, dass jeweils Symmetrie der Innovationen eine grundlegende Voraussetzung für das übliche Grenzverhalten von M-Schätzern ist. Bei Asymmetrie können sich langsamere Konvergenzraten und nicht-normalverteilte Grenzwerte ergeben. Abschließend wurde eine neue Schätzmethode für einen Long-Memory-Prozess eingeführt, der aus Aggregation von AR(1)-Prozessen mit Beta-verteilten Koeffizienten hervorgeht. Es konnte Konsistenz und asymptotische Normalität des Schätzers gezeigt werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- (2006). On location estimation for LARCH processes. Journal of Multivariate Analysis, Vol. 97, 1766 - 1782
Beran, J.
- (2007). On M-estimation under long-range dependence in volatility. Journal of Time Series Analysis, Vol. 28, 138 - 153
Beran, J.
- (2007). Weighted averages and local polynomial estimation for fractional linear ARCH processes. Journal of Statistical Theory and Practice, 1, 149 - 166
Beran, J. and Feng, Y.
- (2008). The effect of long memory in volatility on location estimation. Sankhya, Vol. 70, Series B, Part I, 84 - 112
Beran, J. and Schützner, M.
- (2009). Asymptotic Statistical Theory for Long Memory Volatihty Models. Dissertation, 174 Seiten, Universität Konstanz
Schützner, M.
