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Singular Hermitian Metrics / Analytic Theory of Moduli Spaces

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2007 bis 2020
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 48226760
 
Erstellungsjahr 2023

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Konstruktion grober Modulräume ist eine mögliche Antwort auf die Frage nach der Klassifikation projektiver Varietäten bzw. Kählerscher Mannigfaltigkeiten oder holomorpher Vektorbündel. Die komplexe Struktur eines solchen Modulraumes spiegelt die Variation der Strukturen der untersuchten Objekte in algebraischen/holomorphen Familien wider. Genauere Ergebnisse kann man von differentialgeometrischen Untersuchungen erwarten (Konstruktion einer Weil-Petersson-Metrik) und eines Determinantenbündels, welches eine Quillen-Metrik besitzt. Was Entartungen der Situation angeht, ist das Ziel die Konstruktion singulärer hermitescher Metriken auf gewissen Geradenbündeln, deren Krümmungsformen "positive, closed currents" sind. In einer Folge von Arbeiten Mit Nicholas Buchdahl wurde der Modulraum polystabiler Vektorbündel auf Kähler-Mannigfaltikeiten konstruiert. Diese Objekte treten "am Rande" des Modulraumes stabile Vektorbündel auf. Da die bekannten analytischen Methoden nicht anwendbar sind (nicht-Existenz universeller Deformationen) wurden die Methoden der Geometrischen Invariantentheorie für die analytische Situation entwickelt und komplexe Räume mit lokaler analytischer GIT-Struktur eingeführt. Das oben genannte Programm konnte für diesen Modulraum durchgeführt werden. Des weiteren wurden Modulräume von Instantonen untersucht. In einem Projekt mit Indranil Biswas wurden Modulräume von Quiver-Bündeln konstruiert und untersucht, welche Bezüge zur Theoretischen Physik besitzen. Für Familien stabiler Bündel, die als kohärente Garben entarten, wurde (gemeinsam mit I. Biswas) gezeigt, dass die Weil-Petersson-Form als "positive current" entartet. In einer längeren Arbeit wurde gezeigt, dass für Familien kanonisch polarisierter Mannigfaltigkeiten (den natürlichen Analoga zu Riemannschen Flächen vom Geschlecht größer als eins) das relative kanonische Geradenbündel positiv ist, und eine Art von verallgemeinerter Weil-Petersson-Metrik konstruiert werden kann, welche höhere Kodaira-Spencer Abbildungen berücksichtigt. Aus negativen Krümmungseigenschaften konnte eine länger offene Frage nach der Hyperbolizität des Modulraumes positiv beantwortet werden. Darüberhinaus wurde die Quasi-Projektivität des Modulraumen mit analytischen Methoden neu bewiesen. In Arbeiten mit Young-Jun Choi bzw. Matthias Braun und Y.-J. Choi wurden Familien polarisierter Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und deren Entartungen untersucht. Nachdem eine natürliche Kähler-Form vom Verfasser auf dem Raum aller Untermannigfaltigkeiten einer gegebenen Kähler-Mannigfaltigkeit (Douady-Raum) konstruiert worden war, wurden in einer gemeinsamen Arbeit mit Reynir Axelsson deren Entartungen am Rande des Modulraumens untersucht, Ergebnisse, die wiederum die Existenz einer singuläre, hermitesche Metrik auf einem Determinantenbündel ermöglichten. Die klassische Weil-Petersson Metrik wurde in einer gemeinsamen Arbeit mit Stefano Trapani betrachtet, fußend auf früheren gemeinsamen Ergebnissen. Präzise Abschätzungen über die mittlere Ricci-Krümmung und Anwendungen auf gewisse Schnittzahlen wurden gefunden. Im Berichtszeitraum wurden 42 Arbeiten in wissenschaftlichen Zeitschriften veröffentlicht.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

 
 

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