Stokes-Strukturen und Modulräume zu Markov-Tripeln und Hurwitz-Räumen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Markov-Tripel sind Tripel natürlicher Zahlen, die zusammen Nullstellen eines bestimmten Polynoms in drei Variablen sind. Sie bilden einen Orbit der Zopfgruppe Br3 von Zöpfen mit drei Strängen. Die oberen 3×3 Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen und diesen Tripeln als Einträgen rechts oben treten als Stokes-Matrizen eines bestimmten meromorphen Zusammenhangs auf C× (ein Parameterraum) auf. Der Teil des Parameterraums, wo eine bestimmte Matrix auftritt, ist eine Stokesregion. Der meromorphe Zusammenhang kommt von der Quantenkohomologie des P2. Der Parameterraum umfasst einen Quotienten der zugehörigen Frobeniusmannigfaltigkeit. Im Projekt wurde dieser Parameterraum konstruiert, und auch ein größerer, der diesen überlagert. Bei dem größeren Parameterraum sind die Stokesregionen, aus denen er sich zusammensetzt, in 1:1 Korrespondenz mit ausgezeichneten Basen modulo Vorzeichen in einem Z-Gitter vom Rang drei. Auch diese ausgezeichneten Basen modulo Vorzeichen bilden einen Br3-Orbit. Das Z-Gitter ist versehen mit drei Bilinearformen, einem Monodromie-Operator, einer geraden und einer ungeraden Monodromiegruppe, einer Menge gerade verschwindender Zykel und einer Menge ungerader verschwindender Zykel. All diese Objekte wurden bestimmt. Bei diesem Teil des Projekts waren die Stokes-Matrizen der Ausgangspunkt. Beim zweiten Teil des Projekts war die Frobeniusmannigfaltigkeit der Quantenkohomologie des P2 der Ausgangspunkt. Zu ihr wurde ein 1-dimensionales Landau-Ginzburg-Superpotential konstruiert. Die Resultate zur kleinen Quantenkohomologie sind rund. Die Resultate zur großen Quantenkohomologie lassen noch Wünsche offen. In jedem Fall ist dieser Teil ein Schritt hin zu einer Uniformisierung der Frobeniusmannigfaltigkeit. Der Teil des Projekts zu Hurwitz-Räumen wurde nicht realisiert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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“Unimodular bilinear lattices, automorphism groups, vanishing cycles, monodromy groups, distinguished bases, braid group actions and moduli spaces fro upper triangular matrices”, 396 pages.
Claus Hertling & Khadija Larabi
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1D Landau-Ginzburg Superpotential of Big Quantum Cohomology of CP2. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications.
de Almeida, Guilherme F.
