Rekonstruktion von Einschlüssen mit Monotonie-basierten Methoden für die elasto-oszillatorische Wellengleichung

• Antragstellerin: Privatdozentin Dr. Sarah Eberle-Blick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 499303971

Die Hauptmotivation dieses Projektes ist die Entwicklung und Untersuchung mathematischer Verfahren für die zerstörungsfreie Prüfung elastischer 3D Strukturen auf Einschlüsse, wie sie etwa bei Materialuntersuchungen, in der Explorationsgeophysik, sowie zur medizinischen Diagnostik (Elastographie) gefordert wird. Hierbei handelt es sich mathematisch gesehen um ein Inverses Problem: „Finde und rekonstruiere die unbekannten Einschlüsse nur mit Messungen der Verschiebungen auf dem Rand des elastischen Körpers, die aus vorgegebenen Drücken resultieren.“ Leider ist dieses Problem „schlecht gestellt“, d.h. schon der kleinste Messfehler kann das Ergebnis völlig verfälschen. Mit den sogenannten Monotonie Methoden lassen sich mit diesen Daten dennoch Einschlüsse etc. im Innern detektieren und rekonstruieren. Somit ist unser Ziel eine neue Methode zur Lösung des inversen Problems für die elasto-oszillatorische Wellengleichung mit monotonie-basierten Methoden zu entwickeln, zu analysieren, anzuwenden und zu verifizieren. Die Monotonie Methoden wurden in den letzten Jahren immer bedeutender und erfolgreich z.B. für die elektrische Impedanztomographie (EIT) angewendet. Die Stärken dieser Methoden sind: Sie ermöglichen schnelle und global konvergente Implementierungen auf der Grundlage einer rigorosen Theorie, arbeiten in beliebigen Dimensionen d≥2 sowohl für vollständige als auch für partielle Randdaten, können Standard Residuum-basierte Methoden verbessern, liefern eine rigorose Auflösungsgarantie für realistische Settings (gestörte Daten) und bieten eine exakte und eindeutige Lösung des inversen Problems für exakte Daten. In diesem Projekt sollen die rigorosen Monotonie Methoden weiterentwickelt werden. Konkret soll der Übergang von der durch die Antragstellerin bereits betrachteten elasto-statischen Wellengleichung auf die elasto-oszillatorische Wellengleichung (Frequenzbereich) übertragen und analysiert werden. Insbesondere sind zwei unterschiedliche Ansätze zu verfolgen: die Konstruktion von Monotonie-Tests und eine auf monotonie-basierte Regularisierung. Des Weiteren sollen beide Verfahren implementiert werden um damit die Rekonstruktion von Einschlüssen numerisch zu simulieren. Abschließend sollen Laborexperimente durchgeführt werden, um die Monotonie Methoden für die elastische Wellengleichung weiter zu untersuchen und in einem konkreten Anwendungsbezug zu verifizieren. Dieses Projekt vereint somit die rigoros abgesicherte Theorie der für die lineare Elastik entwickelten Monotonie Methoden mit der expliziten Anwendung der Verfahren, d.h. der Implementierung und Simulation der Rekonstruktion von Einschlüssen in elastischen Körpern sowohl für künstliche als auch experimentelle Daten. Darüber hinaus wurden die Monotonie Methoden noch nicht auf zeitliche Probleme angewendet. Die Untersuchung des zeitharmonischen Problems ist daher ein unverzichtbarer Zwischenschritt, um in Zukunft zeitabhängige inverse Probleme mit Monotonie Methoden lösen zu können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen