Große Abweichungen für zufällige Matrizen mit variierendem Potential und Sum Rules

• Antragsteller: Dr. Jan Nagel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 499508288

In diesem Projekt untersuchen wir Spektralmaße von großen zufälligen Matrizen. Zufällige Matrizen werden zur Modellierung komplexer physikalischer Systeme verwendet und ein Spektralmaß ist eine Möglichkeit, Eigenschaften der Matrix zu beschreiben. Da die Matrix zufällig ist, ist auch das Spektralmaß ein zufälliges Objekt. Für große Matrizen ähnelt das Spektralmaß jedoch in vielen Fällen stark einem deterministischen Grenzmaß und Abweichungen davon sind exponentiell unwahrscheinlich. Wir studieren Prinzipien großer Abweichungen, welche die Wahrscheinlichkeit für eine Fluktuation um das Grenzmaß präzise bestimmen. Der neue Ansatz in diesem Projekt ist, solche Konzentrationsaussagen zu zeigen, wenn der Mechanismus, gemäß dem die zufällige Matrix erzeugt wird und der durch ein Potential bestimmt wird, nicht fix ist, sondern sich mit der Größe der Matrix ändert. Für diesen Fall sind eine Reihe von Konvergenzaussagen für das Spektralmaß bekannt, aber sehr wenige in der Größenordnung der großen Abweichungen. Ein Spektralmaß lässt sich auf zwei Arten beschreiben: durch spektrale Informationen oder durch eine Folge von Koeffizienten. Es ist jedoch nicht einfach, Informationen in spektraler Form und Informationen über die Koeffizienten in Beziehung zu setzen. Wir verwenden beide Beschreibungsarten, um den Einfluss der variierenden Potentiale auf die Konzentration der zufälligen Spektralmaße zu studieren, wodurch wir Prinzipien großer Abweichungen auf zwei Arten beweisen können. Der große Vorteil von zwei unabhängigen Beweisen in beiden Beschreibungsarten ist eine resultierende Sum Rule. Solche Sum Rules sind wichtige Gleichungen, mit denen es möglich ist, spektrale Information in Informationen über die Koeffizienten zu übersetzen. Neben den rein probabilistischen großen Abweichungen ist die Entdeckung solcher Identitäten ein weiteres wichtiges Ziel. Indem wir den Mechanismus bei der Erzeugung der zufälligen Matrix variieren, können wir so neue Arten von Sum Rules herleiten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Kooperationspartner: Professor Fabrice Gamboa; Professor Alain Rouault