Datengeleitete diskrete elastische Formanalyse von mannigfaltigkeitswertigen Trajektorien

• Antragsteller: Esfandiar Nava Yazdani, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2022 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 499571814

Dieses Projekt befasst sich mit Räumen von mannigfaltigkeitswertigen Kurven sowie zugehörigen Formräumen und basiert auf Riemannschen Werkzeugen zur elastischen Formanalyse. Wir planen die Untersuchung bestimmter geometrisch und physikalisch motivierter Unterräume sowie die Entwicklung und Anwendung eines variationsbasierten, zeitdiskreten Rahmens zur numerischen Lösung des optimalen Korrespondenzproblems und zur konsistenten Berechnung fundamentaler Bausteine der Riemannschen Geometrie. Dazu zählen Paralleltransport und kürzeste Wege sowie Exponentialabbildung und Logarithmus für diese Räume. Ein wünschenswertes Ziel in vielen Anwendungen ist es, statistische Analysen auf den zugrundeliegenden unendlich dimensionalen Räumen durchzuführen, z.B. um die Variabilität der Trajektorien zu erfassen und ihre Rolle in einem großen komplexen System zu charakterisieren, den Mittelwert zu berechnen und eine Klassifizierung oder Hauptkomponentenanalyse durchzuführen. Für diese Zwecke erarbeiten wir robuste und effiziente Schemata zur Approximation und Interpolation von Formtrajektorien und insbesondere einen neuartigen Spline-Ansatz zur datengeleiteten Modellierung und statistischen Längsschnittanalyse. Ferner verallgemeinern wir einige Euklidische Ergebnisse auf allgemeine Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Ein Großteil der Arbeit wird der Anwendung des vorgeschlagenen Ansatzes auf Datensätze aus den weiten Bereichen der Computer Vision und Morphologie gewidmet sein, einschließlich Beispielen aus der Epidemiologie und der Molekularbiologie. Die Arbeit wird sich auf intrinsische und konstruktive Ansätze konzentrieren und als Open-Source-Software implementieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen