Grenzwerte von Funktionalen über A-freien Vektorfeldern
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Der erste Teil meines Forschungsaufenthalts in Pittsburgh war Zerlegungsresultaten für Folgen in Lp und deren Anwendungen gewidmet. Dabei wurden vor allem Folgen von Gradienten und von Lösungen linearer Systeme betrachtet. Diese Zerlegungsresultate stellen eine verfeinerte Möglichkeit dar, Kompaktheit anhand verschiedener Teilaspekte stückweise zu diskutieren, was sich auch in der Anwendung im Zusammenhang von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und Funktionalen als nützlich erweist. Bestehende Resultate wurden auf den Fall unbeschränkter Gebiete erweitert, teilweise in Zusammenarbeit mit Markus Lilli, mit Anwendungen zu Properness von Differentialoperatoren in quasilinearen Systemen und der Konvergenz von Minimalfolgen in Variationsproblemen. Außerdem ergaben sich in diesem Zusammenhang noch einige unerwartete Ergänzungen zu der eigentlich schon sehr gut untersuchten Theorie schwacher Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen, die in der Variationsrechnung von großer Bedeutung ist. Im zweiten Teil wurden schwerpunktmäßig zwei singuläre Grenzprobleme für Integralfunktionale behandelt. In einer gemeinsamen Arbeit mit Irene Fonseca ergaben sich Verbesserungen beim Problem der Homogenisierung unter differentiellen Nebenbedingungen. Hier geht es um die Berechnung der “effektiven Energie”, eines Grenzwerts für eine Folge von als Integrale gegebenen Energien, deren Dichten “Mikrostrukturen”, also stark oszillierende Einträge, aufweisen, wobei die Zustandsgrößen als Nebenbedingung eine System linearer Differentialgleichungen erfüllen. Zudem wurde ein Dimensionsreduktionsproblem für Funktionale über divergenzfreien Vektorfeldern untersucht. Dabei betrachtet man einen geeigneten Grenzbegriff für eine Folge von Integralfunktionalen über einem immer dünner werdenden Gebiet. Es konnte gezeigt werden, dass das Grenzfunktional wieder ein (lokales) Integralfunktional ist, dessen Integrand sich durch Konvexifizierung des ursprünglichen Integranden ergibt. Interessanterweise passiert das, obwohl die Nebenbedingung bei der verwandten Fragestellung der Relaxation in der Grenzsituation nichtlokale Effekte bewirken kann.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Dimension reduction for functionals on solenoidal vector fields
Stefan Krömer
- On properness and related properties of quasilinear systems on unbounded domains. Math. Nachr.
S. Krömer and M. Lilli
- Necessary conditions for weak lower semicontinuity on domains with infinite measure. ESAIM: COCV, 16:457-471, 2010
Stefan Krömer
