Austauschbarkeitstheorie ID-basierter Datenstrukturen mit Anwendungen in der Statistik

• Antragsteller: Dr. Julian Gerstenberg
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 502386356

Austauschbarkeit ist eine probabilistische Symmetrie von grundlegender Bedeutung für die Statistik. Austauschbarkeit ist eine natürliche Annahme an die statistische Verteilung von Daten, die über eine Prodzedur erhalten werden, in der Individuen einer großen Population 'rein zufällig' entnommen wurden. Ein erstes und berühmtes Ergebnis der Austauschbarkeitstheorie (de Finetti/Hewitt-Savage) besagt, dass austauschbare Sequenzen (in Verteilung) Mischungen von unabhängigen und identisch verteilten Sequenzen von Zufallsvariablen entsprechen. Neben sequentiellen Daten haben viele andere Datenstrukturen einen interessanten Begriff der Austauschbarkeit. Die lange und wachsende Liste von Datenstrukturen, deren Austauschbarkeitstheorien in der Literatur untersucht wurden, umfasst Partitionen, Graphen, Ordnungen, Arrays, hierarchische Strukturen und mehr. Das beantragte Forschungsprojekt zielt darauf ab, eine allgemeine Theorie der Austauschbarkeit in Datenstrukturen zu entwickeln. Der Ansatz besteht darin, einen abstrakten Begriff der Datenstruktur unter Verwendung der Sprache der Kategorientheorie einzuführen. Dieser Ansatz ermöglicht es, einen abstrakten Begriff der Austauschbarkeit so einzuführen, dass alle bekannten Beispiele für Austauschbarkeit in Datenstrukturen Instanzen dieses neuen Ansatzes sind. Das Studium der Literatur vieler konkreter Beispielen von Datenstrukturen zeigt, dass die Austauschbarkeit enge Verbindungen zu anderen Themen der Mathematik aufweist. Innerhalb des neu entwickelten Rahmens können diese Zusammenhänge allgemein erforscht werden. Ein Hauptziel des vorgeschlagenen Projekts ist eine vereinheitlichte und verallgemeinerte Formulierung der berühmten Aldous-Hoover-Kallenberg-Darstellungssätze. Anwendungen des vorgeschlagenen Forschungsvorhabens liegen in der Statistik und insbesondere in Prinzipien, die auf empirischer Risikominimierung beruhen, die unter anderem auch im Bereich des maschinellen Lernens ausgiebig genutzt werden. Andere Anwendungen sind in der Informatik denkbar, das entwickelte abstrakte Framework für Datenstrukturen weist den Weg zum Entwurf von Softwarepaketen, die dem Nutzer verschiedene Arten von Datenstrukturen bereitstellen könnten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen